Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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==Bestimmtes Integral== | ==Bestimmtes Integral== | ||
Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch | Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch | ||
:<math>\int_a^b f(x) dx</math> | :<math>\int_a^b f(x) \, dx</math> | ||
gegeben. | gegeben. | ||
Für auf den Intervallen <math>[a;b]</math> und <math>[b;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln: | Für auf den Intervallen <math>[a;b]</math> und <math>[b;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln: | ||
===Faktorregel=== | ===Faktorregel=== | ||
:<math>\int_a^b c \cdot f(x) dx=c \cdot \int_a^b f(x) dx</math> | :<math>\int_a^b c \cdot f(x) \, dx=c \cdot \int_a^b f(x) \, dx</math> | ||
===Summenregel=== | ===Summenregel=== | ||
:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^bg(x) dx</math> | :<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_a^bg(x) \, dx</math> | ||
===Intervalladditivität=== | ===Intervalladditivität=== | ||
:<math>\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx</math> | :<math>\int_a^c f(x) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_b^c f(x) \, dx</math> | ||
===Vertauschen der Integrationsgrenzen=== | ===Vertauschen der Integrationsgrenzen=== | ||
:<math>\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx</math> | :<math>\int_a^b f(x) \, dx=-\int_b^a f(x) \, dx</math> | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
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==Integralfunktion== | ==Integralfunktion== | ||
Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist | Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist | ||
:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t)dt</math> | :<math>I_a(x)=\int_a^x f(t) \, dt</math> | ||
die dazugehörige '''Integralfunktion'''. | die dazugehörige '''Integralfunktion'''. | ||
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# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln. | # Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln. | ||
# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln | # Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln | ||
# <math>A=|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx|+|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx|+\dots+|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x))dx|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]]) | # <math>A=|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx|+|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx|+\dots+|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x)) \, dx|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]]) | ||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
===Flächeninhalt ermitteln=== | ===Flächeninhalt ermitteln=== | ||
[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 | [[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 \, dx=\frac{7}{3}</math></span>.]] | ||
Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>. | Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>. | ||
Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>. | Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>. | ||
Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch | Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch | ||
:<math>\int_1^2 x^2 | :<math>\int_1^2 x^2 \, dx = F(2) - F(1)</math> | ||
:<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math> | :<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math> | ||
berechnet. | berechnet. | ||
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:<math>-1,59; 0; 1,59 \in [-2;2]</math> | :<math>-1,59; 0; 1,59 \in [-2;2]</math> | ||
2. Flächeninhalt ermitteln | 2. Flächeninhalt ermitteln | ||
:<math>A=|\int_{-2}^{-1,59} f(t)dt|+|\int_{-1,59}^{0} f(t)dt|+|\int_{0}^{1,59} f(t)dt|+|\int_{1,59}^{2} f(t)dt| </math> | :<math>A=|\int_{-2}^{-1,59} f(t) \, dt|+|\int_{-1,59}^{0} f(t) \, dt|+|\int_{0}^{1,59} f(t) \, dt|+|\int_{1,59}^{2} f(t) \, dt| </math> | ||
:<math>\approx |0,13|+|-0,58|+|0,58|+|-0,13| = 0,13+0,58+0,58+0,13= 1,42</math> | :<math>\approx |0,13|+|-0,58|+|0,58|+|-0,13| = 0,13+0,58+0,58+0,13= 1,42</math> | ||
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt <math>A=1,42</math>. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> beträgt <math>\int_{-2}^{2} f(t)dt=0</math>. | Der gesuchte Flächeninhalt beträgt <math>A=1,42</math>. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> beträgt <math>\int_{-2}^{2} f(t) \, dt=0</math>. | ||
===Orientierten Flächeninhalt ermitteln=== | ===Orientierten Flächeninhalt ermitteln=== | ||
[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x | [[Datei:HauptsatzIntBspx.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x \, dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]] | ||
Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>. | Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>. | ||
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:<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math> | :<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math> | ||
3. Flächeninhalt ermitteln | 3. Flächeninhalt ermitteln | ||
:<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math> | :<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x)) \, dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math> | ||
:<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math> | :<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math> | ||
:<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math> | :<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math> | ||