Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>x^2+3x+2,5=0</math> | <math>x^2+3x+2,5=0</math> | ||
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt p=3 und q=2,5. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen: | |||
<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,5}=-1,5\pm\sqrt{-0,25}</math> | |||
Aus negativen Zahlen können wir keine Wurzel ziehen, daher existiert keine Schnittstelle. Das lässt sich auch im Koordinatensystem erkennen. | Aus negativen Zahlen können wir keine Wurzel ziehen, daher existiert keine Schnittstelle. Das lässt sich auch im Koordinatensystem erkennen. | ||
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt p=3 und q=2, | |||
x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,5}=-1,5\pm\sqrt{-0, | ====Parabel und Gerade haben genau einen Schnittpunkt==== | ||
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielEinSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math> mit genau einem Schnittpunkt]] | |||
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen | |||
<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5\ |+0,5</math> | |||
<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x\ |+2x</math> | |||
<math>{2x}^2+6x+4,5=0\ |\div2</math> | |||
<math>x^2+3x+2,25=0</math> | |||
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2,25</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen: | |||
<math>x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,25}=-1,5\pm\sqrt0=-1,5</math> | |||
Den y-Wert berechnen wir durch <math>g\left(-1,5\right)=-2\cdot\left(-1,5\right)-0,5=2,5</math>. Der Schnittpunkt ist damit <math>A(-1,5|2,5)</math>. | |||
====Parabel und Gerade haben zwei Schnittpunkte==== | |||
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielZweiSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math> mit zwei Schnittpunkten]] | |||
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen | |||
<math>{2x}^2+4x+4=-2x\ |+2x</math> | |||
<math>{2x}^2+6x+4=0\ |\div2</math> | |||
<math>x^2+3x+2=0</math> | |||
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=3</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen: | |||
<math>x_1=-\frac{3}{2}+\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5+\sqrt{0,25}=-1</math> | |||
und | |||
<math>x_2=-\frac{3}{2}-\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=-1,5-\sqrt{0,25}=-2</math> | |||
Die y-Werte berechnen wir durch <math>g\left(-1\right)=-2\cdot\left(-1\right)=2</math> und <math>g\left(-2\right)=-2\cdot\left(-2\right)=4</math>. Die Schnittpunkte sind damit <math>A(-1|2)</math> und <math>B(-2|4)</math>. | |||
====Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt==== | |||
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielParaOhneSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math> ohne Schnittpunkt]] | |||
Betrachten wir zwei Parabeln, treten die gleichen drei Fälle wie oben auf. Wir betrachten hier nur den Fall, bei dem die Parabeln keine Schnittpunkte haben. | |||
Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math>. Gleichsetzen der Funktionen liefert | |||
<math>{{-3x}^2-2x+1=2x}^2+4x+4\ |-2x²</math> | |||
<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4\ |-4x</math> | |||
<math>{-5x}^2-6x+1=4\ |-4</math> | |||
<math>{-5x}^2-6x-3=0\ |\div(-5)</math> | |||
<math>x^2+1,2x+0,6=0</math> | |||
Es gilt <math>p=1,2</math> und <math>q=0,6</math>. | |||
Diese Werte können wir einsetzen: | |||
<math>x=-\frac{1,2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1,2}{2}\right)^2-0,6}=-0,6\pm\sqrt{-0,24}</math> | |||
Der Wert unter der Wurzel ist negativ und damit existiert kein Schnittpunkt. | |||