Quadratische Funktion

Lineare Funktionen sind Funktionen der Form [math]\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c }[/math]. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der Marktanalyse.

Betrag einer Zahl

Der Betrag einer reellen Zahl a misst den Abstand zu 0 und wird mit [math]\displaystyle{ |a| }[/math] abgekürzt. Es gilt [math]\displaystyle{ a=\left\{\begin{array}{ll} a, & a \geq 0 \\ -a, & a\lt 0\end{array}\right. . }[/math] Wir verwenden den Betrag bei der Definition einer quadratischen Funktion.

Beispiel

Es gilt [math]\displaystyle{ \left|1\right|=1, \left|-2\right|=2, \left|0\right|=0, \left|-1\right|=1, \left|3\right|=3 }[/math].

Definition

Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=ax^2+bx+c }[/math] mit [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math] heißt quadratische Funktion in Normalform, ihr Graph heißt Parabel. [math]\displaystyle{ a }[/math] heißt Streckungsfaktor, wenn [math]\displaystyle{ |a|\gt 1 }[/math] und Stauchungsfaktor, wenn [math]\displaystyle{ |a|\lt 1 }[/math]. Für [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] ist die Parabel nach oben geöffnet, für [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math] ist die Parabel nach unten geöffnet. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt Scheitelpunkt oder Scheitel S. Der Graph von [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^2 }[/math] heißt Normalparabel.

Beispiele für quadratische Funktionen

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ E(x)=-0,8x^2+4x }[/math]

Der Graph der Funktion [math]\displaystyle{ E(x)=-0,8x^2+4x }[/math] mit dem Definitionsbereich [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_E=[0;5] }[/math] ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist [math]\displaystyle{ S(2,5|5) }[/math]. Die Normalparabel wurde um den Faktor [math]\displaystyle{ -0,8 }[/math] gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ (0|0) }[/math].

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]

Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] mit dem Scheitelpunkt [math]\displaystyle{ S(0|0) }[/math] und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ (0/0) }[/math].

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=5x^2 }[/math]

Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f(x)=5x^2 }[/math] mit dem Scheitelpunkt [math]\displaystyle{ S(0|0) }[/math] und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da [math]\displaystyle{ a=5 }[/math] ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ (0/0) }[/math].

Nullstellen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion [math]\displaystyle{ {f\left(x\right)=x}^2+px+q }[/math] werden durch Auflösen der Gleichung [math]\displaystyle{ x^2+px+q=0 }[/math] nach [math]\displaystyle{ x }[/math] ausgerechnet. Für eine Nachfragefunktion wird die positive Nullstelle auch Sättigungsmenge genannt. Die Lösung der Gleichung wird mit der p-q-Formel berechnet: [math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} }[/math]

Es können keine, eine oder zwei Lösungen existieren.

Beispiel pq-Formel anwenden

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=2x^2+8x+4 }[/math] mit Nullstellen

Wir betrachten [math]\displaystyle{ {f\left(x\right)=2x}^2+8x+4 }[/math]. Wir rechnen

[math]\displaystyle{ {2x}^2+8x+4=0\ |\ \div2 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2+4x+2=0\ }[/math]

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt [math]\displaystyle{ p=4 }[/math] und [math]\displaystyle{ q=2 }[/math]. Diese Werte können wir einsetzen: [math]\displaystyle{ x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2-\sqrt2\approx-3,41 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2+\sqrt2\approx-0,59 }[/math]

Also hat f die Nullstellen [math]\displaystyle{ x_1\approx-3,41 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2\approx-0,59 }[/math]. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.

Beispiel Nullstellen ohne pq-Formel berechnen

Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden:

Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x:

[math]\displaystyle{ 3\left(x-5\right)^2=27\ |\ \div3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(x-5\right)^2=9\ |\ \sqrt{~} }[/math]

[math]\displaystyle{ x-5=9\ \vee x-5=-9\ |+5 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=14\ \vee x=-4 }[/math]

Produkt von Nullstellen:

[math]\displaystyle{ \left(x-8\right)\left(x+3\right)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x-8=0\ \vee x-3=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=8\ \vee x=3 }[/math]

Direktes Auflösen nach x:

[math]\displaystyle{ 7x^2-343=0\ |\ \div7 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2-49=0\ |+49 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2=49\ \ |\ \sqrt{~} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=7\ \vee x=-7\ }[/math]

Herleitung p-q-Formel (nur zur Vertiefung)

Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=ax^2+bx+c }[/math] zu bestimmen, rechnet man:

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a{(x}^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2)+c=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)} }[/math]

Gilt [math]\displaystyle{ a=1 }[/math], so erhält man:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)} }[/math]

Nullstellenform

Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2) }[/math] heißt quadratische Funktion in Nullstellenform. Die Nullstellen sind [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2 }[/math].

Beispiel mit Nullstellen [math]\displaystyle{ x_1=3 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=-4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1=3 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=-4 }[/math] sind Nullstellen von [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ a=1 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=1 \cdot (x-3)\cdot (x+4) }[/math] in Nullstellenform.

Beispiel mit Nullstellen [math]\displaystyle{ x_1=2 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1=2 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=6 }[/math] sind Nullstellen von [math]\displaystyle{ g }[/math] mit [math]\displaystyle{ a=-3 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2) \cdot (x-6) }[/math] in Nullstellenform.

Scheitelpunktform

Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=a({x-e)}^2+f }[/math] mit [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math] heißt quadratische Funktion in Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt ist [math]\displaystyle{ S(e|f) }[/math]. Der Faktor [math]\displaystyle{ a }[/math] ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1 }[/math]

Beispiel

Wir betrachten die Funktion [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1 }[/math]. Der Scheitelpunkt ist dann [math]\displaystyle{ S(2|1) }[/math]. Man kann die rechte Seite der Funktion weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=-2(x^2-4x+4)+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=-2x^2+8x-8+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=-2x^2+8x-7 }[/math]

Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ (0|-7) }[/math].

Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen

Sind eine lineare Funktion [math]\displaystyle{ y=mx+b }[/math] und eine quadratische Funktion [math]\displaystyle{ y=ax^2+bx+c }[/math] gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=mx+b\ }[/math], und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angwendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.

Beispiele Schnittpunkte von Parabel und Gerade

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt

Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ {f\left(x\right)=2x}^2+4x+4 }[/math] und [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x-1 }[/math] ohne Schnittpunkt

Wir betrachten [math]\displaystyle{ {f\left(x\right)=2x}^2+4x+4 }[/math] und [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x-1 }[/math]. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

[math]\displaystyle{ {2x}^2+4x+4=-2x-1\ |+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {2x}^2+4x+5=-2x\ |+2x }[/math]

[math]\displaystyle{ {2x}^2+6x+5=0\ |\div2 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2+3x+2,5=0 }[/math]

Aus negativen Zahlen können wir keine Wurzel ziehen, daher existiert keine Schnittstelle. Das lässt sich auch im Koordinatensystem erkennen. damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt p=3 und q=2,5. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen: x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2,5}=-1,5\pm\sqrt{-0,25}