Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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 ==Bestimmtes Integral==
-Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen]] Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem [[Graph|Graphen]] der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall.
+Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen]] Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch
+:<math>\int_a^b f(x) dx</math>
+gegeben.
 ==Definition==
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 :<math>I_a(x)=\int_a^b f(t)d(t)</math>
 die dazugehörige '''Integralfunktion'''.
+==Beispiele==
+===Flächeninhalt ermitteln===
+Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>.
+Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>.
+Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch
+:<math>\int_1^2 x^2 \, dx = F(2) - F(1)</math>
+:<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math>
+berechnet.
+Der Graph von <math>f</math> verläuft auf dem Intervall <math>[1;2]</math> oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhal beträgt somit <math>\frac{7}{3}</math> Einheiten.
+===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===
+Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.
+Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>.
+Das bestimmte Integral ist:
+:<math>\int_{-1}^1 x \, dx = F(1) - F(-1)</math>
+:<math>= \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0</math>.
+Der orientierte Flächeninhalt beträgt <math>0</math>, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen.
+===Integralfunktion ermitteln===
+Gegeben sei <math>f(x) = 3x</math> und <math>a = 0</math>.
+Die Integralfunktion ist:
+:<math>I_0(x) = \int_0^x 3t \, dt</math>.
+Eine Stammfunktion von <math>3t</math> ist <math>\frac{3t^2}{2}</math>, also:
+:<math>I_0(x) = \frac{3x^2}{2} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} = \frac{3x^2}{2}</math>.
 [[Kategorie:Integralrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]