Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFkt.png|mini|Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}_E=[0;5]</math> | [[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFkt.png|mini|Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math>]] | ||
Der Graph der Funktion <math>E(x)=-0,8x^2+4x</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}_E=[0;5]</math> ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist <math>S(2,5|5)</math>. Die Normalparabel wurde um den Faktor <math>-0,8</math> gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|0)</math>. | |||
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNormal.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math>]] | |||
Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion <math>f(x)=x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da <math>a=1</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>. | |||
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktGestreckt.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=5x^2</math>]] | |||
Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift <math>f(x)=5x^2</math> mit dem Scheitelpunkt <math>S(0|0)</math> und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da <math>a=5</math> ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0/0)</math>. | |||
Version vom 13. Januar 2024, 09:37 Uhr
Lineare Funktionen sind Funktionen der Form [math]\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c }[/math]. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden quadratische Funktionen in der Marktanalyse.
Definition
Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=ax^2+bx+c }[/math] mit [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math] heißt quadratische Funktion in Normalform, ihr Graph heißt Parabel. [math]\displaystyle{ a }[/math] heißt Streckungsfaktor, wenn [math]\displaystyle{ |a|\gt 1 }[/math] und Stauchungsfaktor, wenn [math]\displaystyle{ |a|\lt 1 }[/math]. Für [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] ist die Parabel nach oben geöffnet, für [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math] ist die Parabel nach unten geöffnet. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt Scheitelpunkt oder Scheitel S. Der Graph von [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^2 }[/math] heißt Normalparabel.
Beispiele für quadratische Funktionen
Der Graph der Funktion [math]\displaystyle{ E(x)=-0,8x^2+4x }[/math] mit dem Definitionsbereich [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_E=[0;5] }[/math] ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist [math]\displaystyle{ S(2,5|5) }[/math]. Die Normalparabel wurde um den Faktor [math]\displaystyle{ -0,8 }[/math] gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ (0|0) }[/math].
Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] mit dem Scheitelpunkt [math]\displaystyle{ S(0|0) }[/math] und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ (0/0) }[/math].
Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f(x)=5x^2 }[/math] mit dem Scheitelpunkt [math]\displaystyle{ S(0|0) }[/math] und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da [math]\displaystyle{ a=5 }[/math] ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ (0/0) }[/math].