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Gewinnfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.
Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.


==Definition==
== Definition ==
Eine [[Funktion]] <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math>, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist <math>x \in \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;x_{max}]</math>, wobei <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math> der '''[[Ökonomischer Definitionsbereich|ökonomische Definitionsbereich]]''' und <math>x_{max} \in\ \mathbb{R}</math> die '''[[Kapazitätsgrenze]]''' ist. <math>x</math> ist häufig in ME (Mengeneinheiten) und <math> G(x)</math> in GE (Geldeinheiten) gegeben. Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus der [[Erlösfunktion]] und der [[Kostenfunktion]]: <math>G(x)=E(x)-K(x)</math>
Eine [[Funktion]] <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math>, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist <math>x \in \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;x_{\text{max}}]</math>, wobei <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math> der '''[[Ökonomischer Definitionsbereich|ökonomische Definitionsbereich]]''' und <math>x_{\text{max}} \in\ \mathbb{R}</math> die '''[[Kapazitätsgrenze]]''' ist.  


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/aQ0J7uPZDJ0?si=gQsaFaVl-BBUPUfA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
Die Variable <math>x</math> ist häufig in ME (Mengeneinheiten) und <math>G(x)</math> in GE (Geldeinheiten) gegeben. Die Gewinnfunktion ist definiert als die Differenz aus der [[Erlösfunktion]] und der [[Kostenfunktion]]:


==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==
<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also [[Nullstelle|Nullstellen]] der Gewinnfunktion.


==Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen==
[https://www.youtube.com/watch?v=aQ0J7uPZDJ0 Video-Einführung zur Gewinnfunktion auf YouTube]
Für eine lineare Gewinnfunktion <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> mit der Gewinnschwelle <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt der Punkt <math>BEP(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point'''.


==Gewinnmaximum==
== Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone ==
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Das [[Extremwert#Definition|globale Maximum]] <math>G(x_0)</math> von <math>G</math> heißt '''Gewinnmaximum'''. Die dazugehörige [[Extremwert#Definition|Maximalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> heißt '''gewinnmaximale Ausbringungsmenge'''.
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion.  
* Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist.
* Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist.
* In der '''Gewinnzone''', dem Intervall <math>[x_s; x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die das Unternehmen einen Gewinn erzielt (der Gewinn ist nicht negativ).  


==Beispiele==
Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden berechnet, indem man den Erlös den Kosten gleichsetzt (<math>E(x) = K(x)</math>) oder die Gewinnfunktion gleich null setzt (<math>G(x) = 0</math>). Sie sind also die [[Nullstelle|Nullstellen]] der Gewinnfunktion.  
===Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die [[Kurzfristige_Preisuntergrenze#Variable_St%C3%BCckkostenfunktion|variablen Stückkosten]] betragen 30 € pro Fahrrad. Die produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die [[Kapazitätsgrenze]] beträgt 40 Stück. Wir analysieren im Folgenden die Gewinnsituation.


====Gewinnfunktion herleiten====
== Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen ==
Für die [[Kostenfunktion]] gilt <math>K(x)=30x +2700</math> mit <math>K_v=30</math> und <math>K_f=2700</math>. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v(x)=300</math> und die [[Erlösfunktion]] ist <math>E(x)=300x</math>. Die Gewinnfunktion wird durch <math>G(x)=E(x)-K(x)=300x -(30x +2700)=270x-2700</math> berechnet.  
Für eine lineare Gewinnfunktion <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> mit der Gewinnschwelle <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt der Punkt <math>BEP(x_s | E(x_s))</math> der '''Break-Even-Point'''. Dies ist der Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.


====Gewinn berechnen====
== Gewinnmaximum ==
Der Gewinn für die Kapazitätsgrenze beträgt <math>G(40)=282 \cdot 40-2700=8100</math> €.
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Das [[Extremwert#Definition|globale Maximum]] <math>G(x_0)</math> von <math>G</math> heißt '''Gewinnmaximum'''. Die dazugehörige [[Extremwert#Definition|Maximalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt '''gewinnmaximale Ausbringungsmenge'''.


====Gewinnschwelle berechnen====
== Beispiele ==
Wegen


<math>G(x)=0</math>
=== Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren ===
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die [[Kurzfristige_Preisuntergrenze#Variable_Stückkostenfunktion|variablen Stückkosten]] betragen 30 € pro Fahrrad. Die produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die [[Kapazitätsgrenze]] beträgt 40 Stück. Wir analysieren im Folgenden die Gewinnsituation.


<math>270x-2700=0~|~+2700</math>
==== Gewinnfunktion herleiten ====
Für die [[Kostenfunktion]] gilt <math>K(x) = 30x + 2700</math> mit <math>K_v = 30</math> und <math>K_f = 2700</math>.
Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v(x) = 300</math> und die [[Erlösfunktion]] ist <math>E(x) = 300x</math>.


<math>270x=2700~|~:270</math>
Die Gewinnfunktion wird berechnet durch:
<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
<math>G(x) = 300x - (30x + 2700)</math>
<math>G(x) = 270x - 2700</math>


<math>x = 10</math>
==== Gewinn berechnen ====
Der Gewinn für die Auslastung an der Kapazitätsgrenze (<math>x = 40</math>) beträgt:
<math>G(40) = 270 \cdot 40 - 2700 = 10800 - 2700 = 8100</math> €


beträgt die Gewinnschwelle <math>x_s = 10</math> Fahrräder. Alternativ können wir die [[Erlösfunktion]] und die [[Kostenfunktion]] gleichsetzen um die Gewinnschwelle zu berechnen:
==== Gewinnschwelle berechnen ====
Wir setzen die Gewinnfunktion gleich null:


<math>E(x)=K(x)</math>
<math>G(x) = 0</math>
<math>270x - 2700 = 0 \quad | +2700</math>
<math>270x = 2700 \quad | :270</math>
<math>x = 10</math>


<math>300x=30x+2700~|~-30x</math>
Die Gewinnschwelle beträgt <math>x_s = 10</math> Fahrräder.


<math>300x-30x=2700</math>
Alternativ können wir die [[Erlösfunktion]] und die [[Kostenfunktion]] gleichsetzen, um die Gewinnschwelle zu berechnen:


<math>270x=2700~|~:270</math>
<math>E(x) = K(x)</math>
<math>300x = 30x + 2700 \quad | -30x</math>
<math>270x = 2700 \quad | :270</math>
<math>x = 10</math>


<math>x=10</math>
==== Break-Even-Point berechnen ====
Um den entsprechenden Erlös/Kosten-Wert zu erhalten, setzen wir die Gewinnschwelle in die Erlösfunktion ein:
<math>E(10) = 300 \cdot 10 = 3000</math>


====Break-Even-Point berechnen====
Der Break-Even-Point ist damit <math>BEP(10 | 3000)</math>. Werden 10 ME produziert, sind die Kosten und der Erlös gleich hoch und betragen jeweils 3000 €.
Außerdem gilt <math>E(10)=300 \cdot 10 =3000</math>. Der Break-Even-Point ist damit <math>BEP(10|3000)</math>. Werden 10 ME produziert, sind die Kosten und der Erlös gleich hoch und betragen jeweils 3000 €.


===Eine ganzrationale Gewinnfunktion dritten Grades herleiten und analysieren===
=== Eine ganzrationale Gewinnfunktion dritten Grades herleiten und analysieren ===
Die variable [[Kostenfunktion]] für ein Produkt ist durch <math>K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x</math> gegeben. Die [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] betragen 20 GE. Der [[Erlösfunktion#Definition|Verkaufspreis]] pro Stück beträgt 32,8 GE.
Die variable [[Kostenfunktion]] für ein Produkt ist durch <math>K_v(x) = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x</math> gegeben. Die [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] betragen 20 GE. Der [[Erlösfunktion#Definition|Verkaufspreis]] pro Stück beträgt 32,8 GE.


====Gewinnfunktion herleiten====
==== Gewinnfunktion herleiten ====
Die [[Erlösfunktion]], die [[Kostenfunktion]] und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:  
Die [[Erlösfunktion]], die [[Kostenfunktion]] und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:  


<math>E(x)=32,8x</math>
<math>E(x) = 32,8x</math>
<math>K(x) = K_v(x) + K_f = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20</math>


<math>K(x)=K_v(x)+K_f=,2x^3-4x^2+30x+20</math>
<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
<math>G(x) = 32,8x - (0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20)</math>
<math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 32,8x - 30x - 20</math>
<math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>


<math>G(x)=E(x)-K(x)=32,8x-(0,2x^3-4x^2+30x+20)=32,8x-0,2x^3+4x^2-30x-20=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>
==== Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone berechnen ====
[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>]]
Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die [[Nullstelle|Nullstellen]] der berechneten Gewinnfunktion mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] bestimmen:


====Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone berechnen====
<math>0 = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>
[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20</math>]]
Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.


Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die [[Nullstelle|Nullstellen]] mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] berechnen:
<math>x_1 \approx -2,45 \quad (\text{ökonomisch nicht sinnvoll, da } x \geq 0)</math>
<math>x_2 = 2</math>
<math>x_3 \approx 20,45</math>


<math>0=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>
* Die '''Gewinnschwelle''' beträgt 2 ME.
* Die '''Gewinngrenze''' liegt bei ca. 20,45 ME.
* Die '''Gewinnzone''' ist das Intervall <math>[2; 20,45]</math>.
* Der '''ökonomische Definitionsbereich''' beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}} = [0; 20,45]</math>, da keine weitere Kapazitätsgrenze gegeben ist.


<math>x_1 \approx -2,45, x_2=2, x_3 \approx 20,45</math>
==== Graph der Gewinnfunktion zeichnen ====
Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME, die Gewinngrenze 20,45 ME, die Gewinnzone beträgt <math>[2;20,45]</math> und der ökonomische Definitionsbereich beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;20,45] </math>, da keine Kapazitätsgrenze gegeben ist.
 
====Graph der Gewinnfunktion zeichnen====
Um den [[Graph|Graphen]] der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:
Um den [[Graph|Graphen]] der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:


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! <math>x</math>
! <math>x</math>
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! <math>G(x)</math>
! <math>G(x)</math>
| -20|| 0|| 42,4 || 97,6 || 156 || 208|| 244|| 254,4|| 229,6|| 160|| 36|| -160
| -20 || 0 || 42,4 || 97,6 || 156 || 208 || 244 || 254,4 || 229,6 || 160 || 36 || -152
|}
|}


Beispielsweise gilt <math>G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4</math>. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite. Wir erkennen, dass die gewinnmaximale Ausbringungsmenge ca. 13,67 ME und das Gewinnmaximum ca. 253 GE beträgt. Der dazugehörige Hochpunkt ist <math>G_{max}(13,67|253)</math>.
Beispielrechnung für <math>x = 4</math>:
<math>G(4) = -0,2 \cdot 4^3 + 4 \cdot 4^2 + 2,8 \cdot 4 - 20 = -12,8 + 64 + 11,2 - 20 = 42,4</math>
 
Wir zeichnen die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden diese, um den Graphen zu erhalten. Wir können grob ablesen, dass die gewinnmaximale Ausbringungsmenge bei ca. 13,67 ME und das Gewinnmaximum bei knapp 255 GE liegt.  
 
==== Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und Gewinnmaximum ermitteln ====
Das Gewinnmaximum berechnen wir exakt über die Ableitungen der Gewinnfunktion:
<math>G'(x) = -0,6x^2 + 8x + 2,8</math>
<math>G''(x) = -1,2x + 8</math>
 
# '''Notwendige Bedingung''': <math>G'(x) = 0</math>
<br><math>-0,6x^2 + 8x + 2,8 = 0</math>
<br>Lösen mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] liefert:
<br><math>x_1 \approx -0,34 \notin \mathbb{D}_{\text{ök}}</math>
<br><math>x_2 \approx 13,67 \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math>


====Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und Gewinnmaximum ermitteln====
# '''Hinreichende Bedingung''': Überprüfen der zweiten Ableitung
Das Gewinnmaximum und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge berechnen sich für <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> mit <math>G'(x)=-0,6x^2+8x+2,8</math> und <math>G''(x)=-1,2x+8</math> wie folgt:
<br><math>G''(13,67) = -1,2 \cdot 13,67 + 8 \approx -8,4 < 0</math>  
<br>Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei <math>x \approx 13,67</math> ein Hochpunkt (Maximum) vor.


#'''Notwendige Bedingung''': <br> <math>G'(x)=0</math> <br> <math>-0,6x^2+8x+2,8=0~|</math> Lösen mit [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] <br> <math>x \approx -0,34 \notin \mathbb{D}_{ök}</math> oder  <math>x \approx 13,67 \in \mathbb{D}_{ök}</math>
# '''Extremwert (Gewinnmaximum) berechnen''':  
#'''Hinreichende Bedingung''': <br> <math>G''(13,67)=-1,2 \cdot 13,67+8 \approx -8,4<0</math> <br> Bei <math>x \approx 13,67</math> liegt ein Maximum vor.
<br><math>G(13,67) = -0,2 \cdot (13,67)^3 + 4 \cdot (13,67)^2 + 2,8 \cdot 13,67 - 20 \approx 254,85</math>
#'''Extremwert berechnen''': <br> <math>G(13,67)=-0,2\cdot 13,67^3+4\cdot 13,67^2+2,8\cdot 13,67-20 \approx 253</math> <br> Das Gewinnmaximum beträgt ca. 253 GE und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge beträgt ca. 13,67 ME.
<br>Das Gewinnmaximum beträgt ca. 254,85 GE bei einer gewinnmaximalen Ausbringungsmenge von ca. 13,67 ME.


[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:FHR Mathematik]]
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
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