Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).

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:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist ~~der~~ kritische ~~Wert (beachte: <math>P(X > 3)</math> ist identisch mit <math>P(X \ge 4)</math>)~~.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

Berechnung:

:<math>P(X ~~\ge 4~~) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,~~016 \le~~ 0,05</math>

:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>

:<math>P(X ~~\ge~~ 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,~~076 >~~ 0,05</math>

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 3</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>

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Zeile 76:

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

Berechnung ~~des~~ kritischen ~~Wertes~~:

Berechnung der kritischen Zahl:

:<math>P(X \ge 3) = 0,~~047~~ \le 0,05</math>

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,~~264~~ > 0,05</math>

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>

:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 2</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

Zeile 92:

Zeile 97:

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,~~047 <~~ 0,05</math>. Damit ~~ist~~ das Ergebnis im ~~Verwerfungsbereich~~. ~~Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich~~, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im ~~Verwerfungsbereich~~ getroffen.

Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===

Es wird ~~eine Münze~~ <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:

:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

Berechnung ~~des~~ kritischen ~~Wertes~~:

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,~~081~~ > 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 15</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>

Zeile 117:

Zeile 125:

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ~~ist~~ das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ~~wäre~~ es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===

Zeile 124:

Zeile 132:

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

Berechnung ~~des~~ kritischen ~~Wertes~~:

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,~~150~~ > 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 1</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ~~ist keine Lampe~~ ausgefallen.

<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.

'''3. Entscheidung:'''

Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,~~042 <~~ 0,05</math>. Damit ~~ist~~ das Ergebnis im ~~Verwerfungsbereich~~. Unter <math>H_0</math> ~~wäre~~ es ~~eher~~ ungewöhnlich, ~~dass keine einzige Lampe ausfällt~~. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im ~~Verwerfungsbereich~~ getroffen.

Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 === Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/GoFBcIUYvoY?si=l8gBziqVW2u_iCMr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></iframe></html>
 Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
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 :<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
-Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert (beachte: <math>P(X > 3)</math> ist identisch mit <math>P(X \ge 4)</math>).
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
 Berechnung:
-:<math>P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>
+:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
 * Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>
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 * Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
-Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
-Berechnung des kritischen Wertes:
+Berechnung der kritischen Zahl:
-:<math>P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05</math>
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
-* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
-* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
@@ Zeile 92: / Zeile 97: @@
 '''3. Entscheidung:'''
-Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
 === Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
-Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
+Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).
-Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:
+:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
-Berechnung des kritischen Wertes:
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
 :<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>
-:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>
+:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>
 * Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>
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 '''3. Entscheidung:'''
-Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
 === Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
@@ Zeile 124: / Zeile 132: @@
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
-Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
-Berechnung des kritischen Wertes:
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
 :<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>
-:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>
+:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
 * Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ist keine Lampe ausgefallen.
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.
 '''3. Entscheidung:'''
-Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,042 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, dass keine einzige Lampe ausfällt. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
+Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]