Arithmetische Reihe: Unterschied zwischen den Versionen

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== Einführung ==

==Einführung==

Die '''Gaußsche Summenformel''', auch ''kleiner Gauß'' genannt, ist eine Formel für die Summe der ersten <math>n</math> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen.

Allgemein wird sie in der Mathematik durch die folgende ~~vollständige Formel~~ dargestellt:

Allgemein wird sie in der Mathematik durch die folgende Gleichung dargestellt:

== Geschichte ==

Diese Summenformel, wie auch die ~~Summenformel~~ für die ersten Quadratzahlen, war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.

Diese Summenformel, wie auch die Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen, war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.

Carl Friedrich Gauß ~~entdeckte~~ diese Formel als neunjähriger Schüler wieder. Die ~~Geschichte~~ ist durch Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:

Der Legende nach entdeckte Carl Friedrich Gauß diese Formel als neunjähriger Schüler für sich wieder. Die Anekdote ist durch den Geologen Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:

> „Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“

> – ''Wolfgang Sartorius von Waltershausen''

~~---~~

== Erklärung und Herleitung ==

Wie berechnet man die Summe <math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8</math> möglichst effizient? Man gruppiert die Summanden geschickt paarweise:

~~Wie berechnet man die Summe <math>8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1</math> möglichst schnell? Man vertauscht die Reihenfolge der Summanden wie folgt:~~

# Zuerst addiert man den kleinsten und den größten Wert: <math>1 + 8 = 9</math>

# Dann den zweitkleinsten und den zweitgrößten Wert: <math>2 + 7 = 9</math>

# Zuerst ~~addieren wir die~~ größten ~~und kleinsten Werte~~: <math>8 ~~+ 1~~ = 9</math>

# Dieses Muster setzt man fort: <math>3 + 6 = 9</math>

# Dann ~~berechnen wir die~~ zweitgrößten ~~und zweitkleinsten Werte~~: <math>7 ~~+ 2~~ = 9</math>

# Und das letzte Paar: <math>4 + 5 = 9</math>

# ~~Wie wäre es mit~~ <math>6 ~~+ 3</math>? Auch <math>~~9</math>.

# ~~Zuletzt~~ <math>5 ~~+ 4</math>. Noch einmal <math>~~9</math>!

Das Ergebnis lässt sich ~~also deutlich einfacher berechnen~~:

Das Ergebnis lässt sich so auf eine einfache Multiplikation reduzieren:

Es ~~gibt~~ vier Paare ~~von Zahlen~~, die ~~sich~~ jeweils zu <math>9</math> ~~addieren~~. Allgemein ~~kann man~~ mit zwei Schritten ~~jede Folge von aufeinanderfolgenden Ganzzahlen~~ zusammenfassen:

Es existieren also genau vier Paare, die jeweils die Summe <math>9</math> ergeben. Allgemein lässt sich jede Folge aufeinanderfolgender ganzer Zahlen mit zwei Schritten zusammenfassen:

* ~~Füge~~ die kleinste und die größte Zahl ~~hinzu~~.

* Man addiert die kleinste und die größte Zahl der Reihe.

* ~~Multipliziere~~ mit der Anzahl der Paare.

* Man multipliziert dieses Zwischenergebnis mit der Anzahl der gebildeten Paare (genau der halben Anzahl der Summanden).

=== Beispiel mit ungerader Anzahl an Summanden ===

~~Dies~~ gilt auch ~~für ungleiche Paare~~. ~~Zählen Sie einfach die~~ ungepaarte Zahl in der Mitte der Sequenz als ~~ein halbes Paar~~.

Dieses Prinzip gilt auch bei einer ungeraden Anzahl an Summanden. Die ungepaarte Zahl in der Mitte der Sequenz wird dabei einfach als „halbes Paar“ betrachtet.

Ein Beispiel für die Summe <math>1 + 2 + 3 + 4 + 5</math>:

Es ~~gibt~~ zwei ~~volle~~ Paare (<math>1 + 5</math> und <math>2 + 4</math>)~~, die sich jeweils auf <math>6</math> summieren, und ein halbes Paar (~~<math>3</math>~~, was genau~~ der Hälfte ~~von~~ <math>6</math> ~~entspricht)~~. ~~Das ergibt insgesamt~~ <math>2,5</math> Paare:

Es lassen sich zwei vollständige Paare bilden (<math>1 + 5 = 6</math> und <math>2 + 4 = 6</math>). Die verbleibende <math>3</math> entspricht exakt der Hälfte der Paarsumme <math>6</math>. Insgesamt hat man also <math>2{,}5</math> Paare:

== Allgemeine Formel ==

~~Allgemein gilt: Die~~ Summe ~~der~~ kleinsten und größten Summanden ~~ist~~ stets <math>n + 1</math>.

Überträgt man dieses Prinzip auf eine beliebige natürliche Zahl <math>n</math>, so beträgt die Summe des kleinsten und größten Summanden (<math>1</math> und <math>n</math>) stets <math>n + 1</math>.

Da es insgesamt <math>n</math> Zahlen gibt, existieren exakt <math>\frac{n}{2}</math> Paare (unabhängig davon, ob <math>n</math> ungerade oder gerade ist). Daher ~~ist~~ die Summe der Zahlen von <math>1</math> bis <math>n</math>:

Da es insgesamt <math>n</math> Zahlen gibt, existieren exakt <math>\frac{n}{2}</math> Paare (unabhängig davon, ob <math>n</math> ungerade oder gerade ist). Daher berechnet sich die Summe der Zahlen von <math>1</math> bis <math>n</math> wie folgt:

~~Dies entspricht ausmultipliziert~~:

Ausmultipliziert ergibt dies die oft in der Informatik zur Laufzeitanalyse verwendete Darstellung:

[[Kategorie:Lineare_Algebra]]

[[Kategorie:AHR_I_Informatik_LK]]

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+== Einführung ==
-==Einführung==
 Die '''Gaußsche Summenformel''', auch ''kleiner Gauß'' genannt, ist eine Formel für die Summe der ersten <math>n</math> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen.
-Allgemein wird sie in der Mathematik durch die folgende vollständige Formel dargestellt:
+Allgemein wird sie in der Mathematik durch die folgende Gleichung dargestellt:
 <math>\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}</math>
 == Geschichte ==
-Diese Summenformel, wie auch die Summenformel für die ersten Quadratzahlen, war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.
+Diese Summenformel, wie auch die Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen, war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.
-Carl Friedrich Gauß entdeckte diese Formel als neunjähriger Schüler wieder. Die Geschichte ist durch Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:
+Der Legende nach entdeckte Carl Friedrich Gauß diese Formel als neunjähriger Schüler für sich wieder. Die Anekdote ist durch den Geologen Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:
 > „Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“
 > – ''Wolfgang Sartorius von Waltershausen''
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 == Erklärung und Herleitung ==
+Wie berechnet man die Summe <math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8</math> möglichst effizient? Man gruppiert die Summanden geschickt paarweise:
-Wie berechnet man die Summe <math>8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1</math> möglichst schnell? Man vertauscht die Reihenfolge der Summanden wie folgt:
+# Zuerst addiert man den kleinsten und den größten Wert: <math>1 + 8 = 9</math>
+# Dann den zweitkleinsten und den zweitgrößten Wert: <math>2 + 7 = 9</math>
-# Zuerst addieren wir die größten und kleinsten Werte: <math>8 + 1 = 9</math>
+# Dieses Muster setzt man fort: <math>3 + 6 = 9</math>
-# Dann berechnen wir die zweitgrößten und zweitkleinsten Werte: <math>7 + 2 = 9</math>
+# Und das letzte Paar: <math>4 + 5 = 9</math>
-# Wie wäre es mit <math>6 + 3</math>? Auch <math>9</math>.
-# Zuletzt <math>5 + 4</math>. Noch einmal <math>9</math>!
-Das Ergebnis lässt sich also deutlich einfacher berechnen:
+Das Ergebnis lässt sich so auf eine einfache Multiplikation reduzieren:
-<math>(8+1)+(7+2)+(6+3)+(5+4) = 9 + 9 + 9 + 9 = 4 \cdot 9 = 36</math>
+<math>(1+8) + (2+7) + (3+6) + (4+5) = 9 + 9 + 9 + 9 = 4 \cdot 9 = 36</math>
-Es gibt vier Paare von Zahlen, die sich jeweils zu <math>9</math> addieren. Allgemein kann man mit zwei Schritten jede Folge von aufeinanderfolgenden Ganzzahlen zusammenfassen:
+Es existieren also genau vier Paare, die jeweils die Summe <math>9</math> ergeben. Allgemein lässt sich jede Folge aufeinanderfolgender ganzer Zahlen mit zwei Schritten zusammenfassen:
-* Füge die kleinste und die größte Zahl hinzu.
+* Man addiert die kleinste und die größte Zahl der Reihe.
-* Multipliziere mit der Anzahl der Paare.
+* Man multipliziert dieses Zwischenergebnis mit der Anzahl der gebildeten Paare (genau der halben Anzahl der Summanden).
 === Beispiel mit ungerader Anzahl an Summanden ===
-Dies gilt auch für ungleiche Paare. Zählen Sie einfach die ungepaarte Zahl in der Mitte der Sequenz als ein halbes Paar.
+Dieses Prinzip gilt auch bei einer ungeraden Anzahl an Summanden. Die ungepaarte Zahl in der Mitte der Sequenz wird dabei einfach als „halbes Paar“ betrachtet.
 Ein Beispiel für die Summe <math>1 + 2 + 3 + 4 + 5</math>:
-Es gibt zwei volle Paare (<math>1 + 5</math> und <math>2 + 4</math>), die sich jeweils auf <math>6</math> summieren, und ein halbes Paar (<math>3</math>, was genau der Hälfte von <math>6</math> entspricht). Das ergibt insgesamt <math>2,5</math> Paare:
+Es lassen sich zwei vollständige Paare bilden (<math>1 + 5 = 6</math> und <math>2 + 4 = 6</math>). Die verbleibende <math>3</math> entspricht exakt der Hälfte der Paarsumme <math>6</math>. Insgesamt hat man also <math>2{,}5</math> Paare:
-<math>2,5 \cdot 6 = 15</math>
+<math>2{,}5 \cdot 6 = 15</math>
 == Allgemeine Formel ==
-Allgemein gilt: Die Summe der kleinsten und größten Summanden ist stets <math>n + 1</math>.
+Überträgt man dieses Prinzip auf eine beliebige natürliche Zahl <math>n</math>, so beträgt die Summe des kleinsten und größten Summanden (<math>1</math> und <math>n</math>) stets <math>n + 1</math>.
-Da es insgesamt <math>n</math> Zahlen gibt, existieren exakt <math>\frac{n}{2}</math> Paare (unabhängig davon, ob <math>n</math> ungerade oder gerade ist). Daher ist die Summe der Zahlen von <math>1</math> bis <math>n</math>:
+Da es insgesamt <math>n</math> Zahlen gibt, existieren exakt <math>\frac{n}{2}</math> Paare (unabhängig davon, ob <math>n</math> ungerade oder gerade ist). Daher berechnet sich die Summe der Zahlen von <math>1</math> bis <math>n</math> wie folgt:
-<math>(n + 1) \cdot \frac{n}{2}</math>
+<math>\frac{n}{2} \cdot (n + 1) = \frac{n(n+1)}{2}</math>
-Dies entspricht ausmultipliziert:
+Ausmultipliziert ergibt dies die oft in der Informatik zur Laufzeitanalyse verwendete Darstellung:
 <math>\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}</math>
 [[Kategorie:Lineare_Algebra]]
+[[Kategorie:AHR_I_Informatik_LK]]