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Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Seite wurde neu angelegt: „== Einführung == Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie. == Primzahl == Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Primzahlen…“
 
 
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== Einführung ==
== Einführung ==
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl <math>n</math> als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von <math>n</math> bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.


== Primzahl ==
== Primzahl ==
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Primzahlen bis 20 sind:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die ausschließlich durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Die Primzahlen bis 20 lauten:


2,     3,     5,     7,   11,   13,   17,   19
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19


=== Teilbarkeitsregeln ===
=== Teilbarkeitsregeln ===
Im Rahmen einer Primfaktorzerlegung gilt es herauszufinden, ob eine Zahl durch eine bestimmte Primzahl teilbar ist. Dafür gibt es bestimmte Regeln, die sog. Teilbarkeitsregeln. Eine ganze Zahl ist teilbar durch...
Im Rahmen einer Primfaktorzerlegung ist es notwendig herauszufinden, ob eine zu zerlegende Zahl durch eine bestimmte Primzahl teilbar ist. Hierfür existieren hilfreiche Teilbarkeitsregeln. Eine ganze Zahl ist teilbar durch:


2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist (also 0, 2, 4, 6 oder 8 ist)
* '''2''', wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist (sie also auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet).
* '''3''', wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
* '''5''', wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (sie also auf 0 oder 5 endet).


3, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist
Es ist relativ einfach und schnell zu erkennen, ob eine Zahl durch 2, 3 oder 5 teilbar ist. Wenn allerdings größere Primzahlen im Spiel sind, ist eine schriftliche Division oder der Einsatz eines Taschenrechners zur Überprüfung der Teilbarkeit meist unumgänglich.
 
5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (also 0 oder 5 ist)
 
Es ist relativ einfach zu erkennen, ob eine Zahl durch 2, 3 oder 5 teilbar ist. Wenn allerdings größere Primzahlen im Spiel sind (siehe Beispiel 5), kommt man um eine schriftliche Division oder den Einsatz des Taschenrechners zur Überprüfung der Teilbarkeit meist nicht mehr herum.


== Vorgehensweise ==
== Vorgehensweise ==
# Primfaktor suchen (= Primzahl, die die Zahl teilt)
Das systematische Vorgehen bei der Primfaktorzerlegung lässt sich in folgenden Schritten beschreiben:
# Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
# Primfaktor der (geteilten) Zahl suchen
# (Geteilte) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
# ...
# ..
 
Man macht solange weiter, bis es sich bei der (geteilten) Zahl um eine Primzahl handelt.
 
Die Suche nach einem geeigneten Primfaktor (Schritt 1) beginnt man am besten bei der kleinsten Primzahl 2. Danach sucht man bei der nächstgrößeren Primzahl weiter.
 
Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren.
 
== Beispiel ==
Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 12.
 
=== 1.) Primfaktor suchen ===
 
Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor bei der kleinsten Primzahl 2.
 
Wir fragen uns: Ist 12 durch 2 teilbar?
 
Antwort: Ja.
 
Begründung: Laut den Teilbarkeitsregeln ist eine ganze Zahl durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
 
=== 2.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen ===
 
12:2=6


Den ersten Primfaktor haben wir gefunden.
# Suche nach einem Primfaktor (einer Primzahl, welche die Ausgangszahl ohne Rest teilt). Man beginnt hierbei idealerweise bei der kleinsten Primzahl, der 2, und prüft die nächstgrößeren Primzahlen aufsteigend.
# Division der Zahl durch diesen gefundenen Primfaktor.
# Suche nach einem neuen Primfaktor für den berechneten Quotienten (die geteilte Zahl).
# Erneute Division durch den gefundenen Primfaktor.


Da 6 keine Primzahl ist, sind wir noch nicht fertig.
Dieser Prozess wird so lange wiederholt, bis der verbleibende Quotient selbst eine Primzahl ist. Die Primfaktorzerlegung ergibt sich am Ende aus dem Produkt aller gefundenen Primfaktoren.


=== 3.) Primfaktor suchen ===
== Beispiel: Primfaktorzerlegung der Zahl 12 ==


Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor wieder bei der kleinsten Primzahl 2.
Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 12. Wir gehen systematisch vor:


Ist 6 durch 2 teilbar?
'''Primfaktor suchen'''
Wir beginnen die Suche nach einem geeigneten Teiler bei der kleinsten Primzahl, der 2. Wir prüfen: Ist 12 durch 2 teilbar?
* Antwort: Ja.
* Begründung: Gemäß den Teilbarkeitsregeln ist eine ganze Zahl durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist (hier die 2).


Ja.
'''Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen'''
Wir führen die Division durch:
<math>12 : 2 = 6</math>


=== 4.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen ===
Den ersten Primfaktor (die 2) haben wir somit gefunden. Da das Ergebnis 6 jedoch noch keine Primzahl ist, ist die Zerlegung noch nicht abgeschlossen.


6:2=3
'''Erneut Primfaktor suchen'''
Für die Zahl 6 beginnen wir die Suche nach einem Primfaktor wieder bei der kleinsten Primzahl, der 2. Wir prüfen: Ist 6 durch 2 teilbar?
* Antwort: Ja.


Da es sich bei 3 um eine Primzahl handelt, sind wir am Ende angekommen.
'''Zahl erneut teilen'''
Wir führen die nächste Division durch:
<math>6 : 2 = 3</math>


=== Ergebnis ===
Da es sich bei dem Ergebnis 3 um eine Primzahl handelt, ist die schrittweise Zerlegung nun erfolgreich abgeschlossen.


Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren:
'''Ergebnis'''
Die Primfaktorzerlegung bildet sich aus dem Produkt aller identifizierten Primfaktoren:
<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math>


12=2⋅2⋅3
[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
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