Lineares Gleichungssystem: Unterschied zwischen den Versionen
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A \cdot x = b | A \cdot x = b | ||
</math>, | </math>, | ||
wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A|b)</math>. | wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|Zeilenstufenform]] gebracht, zum die Lösung zu ermitteln. | ||
== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme == | == Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme == | ||
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== Lösungskriterien == | == Lösungskriterien == | ||
Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> ab: | Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> mit <math>b \in \mathbb{R}^{m}</math> ab: | ||
* Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>. | * Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>. | ||
* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> gilt. | * Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> gilt. | ||
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Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von '''Parametern''' dargestellt. | Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von '''Parametern''' dargestellt. | ||
==Zeilenstufenform== | |||
In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von '''reduzierter Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems|Gauß-Jordan-Algorithmus]]. | |||
== Betriebswirtschaftliche Anwendungen == | == Betriebswirtschaftliche Anwendungen == | ||
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=== Homogenes lineares Gleichungssystem === | === Homogenes lineares Gleichungssystem === | ||
<math> | :<math> | ||
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x_1 + 2x_2 - x_3 &= 0 \\ | x_1 + 2x_2 - x_3 &= 0 \\ | ||
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=== Inhomogenes lineares Gleichungssystem === | === Inhomogenes lineares Gleichungssystem === | ||
<math> | :<math> | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
2x_1 + x_2 &= 5 \\ | 2x_1 + x_2 &= 5 \\ | ||
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=== Betriebswirtschaftliches Beispiel === | === Betriebswirtschaftliches Beispiel === | ||
Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden. | Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden. | ||
<math> | :<math> | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
x_1 + x_2 &= 50 \\ | x_1 + x_2 &= 50 \\ | ||