Lineares Gleichungssystem: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z.B. bei Produktionsplanung, Kostenrechnung oder Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix|Matrizen]] dargestellt und gelöst.

Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z. B. bei der Produktionsplanung, Kostenrechnung oder in Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix|Matrizen]] dargestellt und algorithmisch gelöst.

== Definition ==

Ein lineares Gleichungssystem mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die Form

Ein '''lineares Gleichungssystem''' mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die allgemeine Form:

<math>

:<math>

\begin{aligned}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\

Zeile 11:

\end{aligned}

</math>

mit Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und rechten ~~Seiten~~ <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.

mit den Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und den Werten der rechten Seite <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.

~~In Matrixschreibweise~~ lautet ~~das System~~

Die '''Matrizengleichung''' des Systems lautet:

<math>

:<math>

A \cdot x = b

</math>,

</math>

wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist.

wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor (rechte Seite) ist.

Koppelt man die Matrix <math>A</math> mit dem Vektor <math>b</math>, erhält man die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' <math>(A|b)</math>. Diese wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahren]] umgeformt, um die Lösung des Systems zu ermitteln.

== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==

* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt, also

* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt (der Vektor der rechten Seite besteht nur aus Nullen), also <math>A \cdot x = 0</math>. Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math> (alle Unbekannten sind Null).

<math>A \cdot x = 0</math>.

* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt (mindestens ein Wert auf der rechten Seite ist ungleich Null). Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.

Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math>.

* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt.

Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.

== Lösungskriterien ==

== Lösungskriterien (Satz von Kronecker-Capelli) ==

Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom ~~'''~~Rang~~'''~~ der Koeffizientenmatrix <math>A</math> und der erweiterten ~~Matrix~~ <math>(A|b)</math> ab:

Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> ab:

* Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>.

* Das System ist generell '''lösbar''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>.

* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> ~~gilt~~.

* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> (wobei <math>n</math> die Anzahl der Unbekannten ist).

* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) < n</math>.

* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) < n</math>. In diesem Fall werden die Lösungen häufig in Abhängigkeit von einem oder mehreren '''Parametern''' angegeben.

* Es gibt '''keine Lösung''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A|b)</math>.

* Es gibt '''keine Lösung''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A|b)</math> (meist bedeutet dies <math>\operatorname{rang}(A) < \operatorname{rang}(A|b)</math>).

~~Bei unendlich vielen Lösungen~~ werden ~~diese häufig mithilfe~~ von '''~~Parametern~~''' ~~dargestellt~~.

== Zeilenstufenform ==

In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile der Matrix die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine (Stufenbildung). Unterhalb der Stufen (führende Koeffizienten bzw. Pivotelemente) stehen ausschließlich Nullen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mithilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] in diese Form gebracht werden.

Sind darüber hinaus alle Pivotelemente auf den Wert 1 normiert und stellen sie in ihrer jeweiligen Spalte den einzigen von Null verschiedenen Eintrag dar, spricht man von der '''reduzierten Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den erweiterten [[Gaußsches_Eliminationsverfahren|Gauß-Jordan-Algorithmus]].

== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==

In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur

In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur:

* Produktions- und Kapazitätsplanung,

* Produktions- und Kapazitätsplanung (z. B. optimale Ressourcenauslastung),

* Kosten- und Erlösrechnung,

* innerbetrieblichen Kosten- und Erlösrechnung (z. B. Verteilung von Gemeinkosten),

* Analyse von Stoff- und Warenströmen,

* Analyse von Stoff- und Warenströmen (Gozintograph),

* Modellierung von Stücklisten und Produktionsprozessen.

* Modellierung von Stücklisten und mehrstufigen Produktionsprozessen.

== Beispiele ==

=== Homogenes lineares Gleichungssystem ===

<math>

:<math>

\begin{aligned}

x_1 + 2x_2 - x_3 &= 0 \\

Zeile 51:

Zeile 53:

\end{aligned}

</math>

Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen linear abhängig ~~sind~~.

Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die zweite Gleichung lediglich ein Vielfaches (das 2-fache) der ersten Gleichung ist. Die Gleichungen sind linear abhängig.

=== Inhomogenes lineares Gleichungssystem ===

<math>

:<math>

\begin{aligned}

2x_1 + x_2 &= 5 \\

Zeile 60:

Zeile 62:

\end{aligned}

</math>

Die eindeutige Lösung lautet <math>x_1 = 2</math>, <math>x_2 = 1</math>.

Die eindeutige Lösung dieses Systems lautet <math>x_1 = 2</math> und <math>x_2 = 1</math>. Geometrisch entspricht dies dem Schnittpunkt zweier Geraden im zweidimensionalen Raum.

=== Betriebswirtschaftliches Beispiel ===

=== Betriebswirtschaftliches Beispiel (Kapazitätsplanung) ===

Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 ~~Produkte hergestellt~~ werden.

Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt exakt 50 Einheiten gefertigt werden (unabhängig davon, wie sie sich auf Produkt 1 und 2 aufteilen).

<math>

Das entsprechende LGS lautet:

:<math>

\begin{aligned}

~~x_1~~ + ~~x_2~~ &= 50 \\

1x_1 + 1x_2 &= 50 \quad \text{(Mengenrestriktion)} \\

2x_1 + 3x_2 &= 120

2x_1 + 3x_2 &= 120 \quad \text{(Kapazitätsrestriktion)}

\end{aligned}

</math>

~~Die Lösung gibt an, wie viele~~ Einheiten ~~der beiden Produkte~~ gefertigt werden ~~können~~.

Das Lösen dieses Systems liefert das Ergebnis <math>x_1 = 30</math> und <math>x_2 = 20</math>.

'''Antwort:''' Es können exakt 30 Einheiten von Produkt 1 und 20 Einheiten von Produkt 2 gefertigt werden, um die Maschinenkapazität vollständig auszulasten.

[[Kategorie:Lineare_Algebra]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z.B. bei Produktionsplanung, Kostenrechnung oder Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix|Matrizen]] dargestellt und gelöst.
+Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z. B. bei der Produktionsplanung, Kostenrechnung oder in Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix|Matrizen]] dargestellt und algorithmisch gelöst.
 == Definition ==
-Ein lineares Gleichungssystem mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die Form
+Ein '''lineares Gleichungssystem''' mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die allgemeine Form:
-<math>
+:<math>
 \begin{aligned}
 a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\
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 \end{aligned}
 </math>
-mit Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und rechten Seiten <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.
+mit den Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und den Werten der rechten Seite <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.
-In Matrixschreibweise lautet das System
+Die '''Matrizengleichung''' des Systems lautet:
-<math>
+:<math>
 A \cdot x = b
-</math>,
+</math>
-wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist.
+wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor (rechte Seite) ist.
+Koppelt man die Matrix <math>A</math> mit dem Vektor <math>b</math>, erhält man die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' <math>(A|b)</math>. Diese wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahren]] umgeformt, um die Lösung des Systems zu ermitteln.
 == Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==
-* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt, also
+* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt (der Vektor der rechten Seite besteht nur aus Nullen), also <math>A \cdot x = 0</math>. Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math> (alle Unbekannten sind Null).
-  <math>A \cdot x = 0</math>.
+* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt (mindestens ein Wert auf der rechten Seite ist ungleich Null). Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.
-  Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math>.
-* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt.
-  Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.
-== Lösungskriterien ==
+== Lösungskriterien (Satz von Kronecker-Capelli) ==
-Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom '''Rang''' der Koeffizientenmatrix <math>A</math> und der erweiterten Matrix <math>(A|b)</math> ab:
+Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> ab:
-* Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>.
+* Das System ist generell '''lösbar''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>.
-* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> gilt.
+* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> (wobei <math>n</math> die Anzahl der Unbekannten ist).
-* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) < n</math>.
+* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) < n</math>. In diesem Fall werden die Lösungen häufig in Abhängigkeit von einem oder mehreren '''Parametern''' angegeben.
-* Es gibt '''keine Lösung''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A|b)</math>.
+* Es gibt '''keine Lösung''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A|b)</math> (meist bedeutet dies <math>\operatorname{rang}(A) < \operatorname{rang}(A|b)</math>).
-Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von '''Parametern''' dargestellt.
+== Zeilenstufenform ==
+In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile der Matrix die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine (Stufenbildung). Unterhalb der Stufen (führende Koeffizienten bzw. Pivotelemente) stehen ausschließlich Nullen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mithilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] in diese Form gebracht werden.
+Sind darüber hinaus alle Pivotelemente auf den Wert 1 normiert und stellen sie in ihrer jeweiligen Spalte den einzigen von Null verschiedenen Eintrag dar, spricht man von der '''reduzierten Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den erweiterten [[Gaußsches_Eliminationsverfahren|Gauß-Jordan-Algorithmus]].
 == Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==
-In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur
+In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur:
-* Produktions- und Kapazitätsplanung,
+* Produktions- und Kapazitätsplanung (z. B. optimale Ressourcenauslastung),
-* Kosten- und Erlösrechnung,
+* innerbetrieblichen Kosten- und Erlösrechnung (z. B. Verteilung von Gemeinkosten),
-* Analyse von Stoff- und Warenströmen,
+* Analyse von Stoff- und Warenströmen (Gozintograph),
-* Modellierung von Stücklisten und Produktionsprozessen.
+* Modellierung von Stücklisten und mehrstufigen Produktionsprozessen.
 == Beispiele ==
 === Homogenes lineares Gleichungssystem ===
-<math>
+:<math>
 \begin{aligned}
 x_1 + 2x_2 - x_3 &= 0 \\
@@ Zeile 51: / Zeile 53: @@
 \end{aligned}
 </math>
-Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen linear abhängig sind.
+Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die zweite Gleichung lediglich ein Vielfaches (das 2-fache) der ersten Gleichung ist. Die Gleichungen sind linear abhängig.
 === Inhomogenes lineares Gleichungssystem ===
-<math>
+:<math>
 \begin{aligned}
 x_1 + x_2 &= 5 \\
@@ Zeile 60: / Zeile 62: @@
 \end{aligned}
 </math>
-Die eindeutige Lösung lautet <math>x_1 = 2</math>, <math>x_2 = 1</math>.
+Die eindeutige Lösung dieses Systems lautet <math>x_1 = 2</math> und <math>x_2 = 1</math>. Geometrisch entspricht dies dem Schnittpunkt zweier Geraden im zweidimensionalen Raum.
-=== Betriebswirtschaftliches Beispiel ===
+=== Betriebswirtschaftliches Beispiel (Kapazitätsplanung) ===
-Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden.
+Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt exakt 50 Einheiten gefertigt werden (unabhängig davon, wie sie sich auf Produkt 1 und 2 aufteilen).
-<math>
+Das entsprechende LGS lautet:
+:<math>
 \begin{aligned}
-x_1 + x_2 &= 50 \\
+x_1 + 1x_2 &= 50 \quad \text{(Mengenrestriktion)} \\
-x_1 + 3x_2 &= 120
+x_1 + 3x_2 &= 120 \quad \text{(Kapazitätsrestriktion)}
 \end{aligned}
 </math>
-Die Lösung gibt an, wie viele Einheiten der beiden Produkte gefertigt werden können.
+Das Lösen dieses Systems liefert das Ergebnis <math>x_1 = 30</math> und <math>x_2 = 20</math>.
+'''Antwort:''' Es können exakt 30 Einheiten von Produkt 1 und 20 Einheiten von Produkt 2 gefertigt werden, um die Maschinenkapazität vollständig auszulasten.
 [[Kategorie:Lineare_Algebra]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]