Lineares Gleichungssystem: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „= Lineares Gleichungssystem = Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z.B. bei Produktionsplanung, Kostenrechnung oder Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von Matrizen dargestellt und gelöst. == Definition == Ein lineares…“ |
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Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z.B. bei Produktionsplanung, Kostenrechnung oder Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix|Matrizen]] dargestellt und gelöst. | Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z.B. bei Produktionsplanung, Kostenrechnung oder Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix|Matrizen]] dargestellt und gelöst. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
Ein lineares Gleichungssystem mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die Form | Ein '''lineares Gleichungssystem''' mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die Form | ||
<math> | :<math> | ||
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a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ | a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ | ||
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mit Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und rechten Seiten <math>b_i \in \mathbb{R}</math>. | mit Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und rechten Seiten <math>b_i \in \mathbb{R}</math>. | ||
Die '''Matrizengleichung''' des Systems lautet | |||
<math> | :<math> | ||
A \cdot x = b | A \cdot x = b | ||
</math>, | </math>, | ||
wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. | wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|Zeilenstufenform]] gebracht, zum die Lösung zu ermitteln. | ||
== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme == | == Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme == | ||
* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt, also | * Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt, also <math>A \cdot x = 0</math>. Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math>. | ||
* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt. Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen. | |||
* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt. | |||
== Lösungskriterien == | == Lösungskriterien == | ||
Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom | Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> mit <math>b \in \mathbb{R}^{m}</math> ab: | ||
* Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>. | * Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)</math>. | ||
* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> gilt. | * Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> gilt. | ||
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Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von '''Parametern''' dargestellt. | Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von '''Parametern''' dargestellt. | ||
==Zeilenstufenform== | |||
In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von '''reduzierter Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems|Gauß-Jordan-Algorithmus]]. | |||
== Betriebswirtschaftliche Anwendungen == | == Betriebswirtschaftliche Anwendungen == | ||
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=== Homogenes lineares Gleichungssystem === | === Homogenes lineares Gleichungssystem === | ||
<math> | :<math> | ||
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x_1 + 2x_2 - x_3 &= 0 \\ | x_1 + 2x_2 - x_3 &= 0 \\ | ||
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=== Inhomogenes lineares Gleichungssystem === | === Inhomogenes lineares Gleichungssystem === | ||
<math> | :<math> | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
2x_1 + x_2 &= 5 \\ | 2x_1 + x_2 &= 5 \\ | ||
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=== Betriebswirtschaftliches Beispiel === | === Betriebswirtschaftliches Beispiel === | ||
Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden. | Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden. | ||
<math> | :<math> | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
x_1 + x_2 &= 50 \\ | x_1 + x_2 &= 50 \\ | ||