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Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.
Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen werden häufig mit [[Gozintograph]]en graphisch dargestellt.


== Definition ==
== Definition ==
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</math>
</math>


\(m \times n\) ist das '''Format''' einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt '''quadratische Matrix'''. Die Elemente \(a_{11},...,a{mn}\) bilden die '''Hauptdiagonale''' der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben, heißt '''Einheitsmatrix'''. Eine Matrix die nur aus einer Spalte besteht, heißt '''Spaltenvektor'''. Eine Matrix die nur aus einer Zeile besteht, heißt '''Zeilenvektor'''.
\(m \times n\) ist das '''Format''' oder die '''Dimension''' einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt '''quadratische Matrix'''. Die Elemente \(a_{11},...,a_{mn}\) bilden die '''Hauptdiagonale''' der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben, heißt '''Einheitsmatrix'''. Eine Matrix die nur aus einer Spalte besteht, heißt '''Spaltenvektor'''. Eine Matrix die nur aus einer Zeile besteht, heißt '''Zeilenvektor'''.


== Transponierte Matrix ==
== Transponierte Matrix ==
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Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
:<math>
:<math>
A + B = \begin{pmatrix}
A - B = \begin{pmatrix}
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
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=== Aufstellen von Herstellungsmatrizen ===
=== Aufstellen von Herstellungsmatrizen ===
Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R1 und R2 die Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Endprodukte E1 und E2 ermittelt. Die benötigten Mengen in t werden in den folgenden Stücklisten zusammengefasst.
Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R1 und R2 die Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Endprodukte E1 und E2 ermittelt. Die benötigten Mengen in t werden in den folgenden Stücklisten zusammengefasst. Beispielsweise werden für die Herstellung von 1t Z1 insgesamt 3t R1 und 5t R2 benötigt. Für die Herstellung von 1t E1 werden 1t Z1, 2t Z2 und 1t Z3 benötigt.
 
{| class="wikitable"
! Stückliste 1 !! Z1 !! Z2 !! Z3
|-
| '''R1'''
|| 3 || 2 || 4
|-
| '''R2'''
|| 5 || 1 || 3
|}
 
{| class="wikitable"
! Stückliste 2 !! E1 !! E2
|-
| '''Z1''' || 1 || 3
|-
| '''Z2''' || 2 || 4
|-
| '''Z3''' || 1 || 2
|}
 
Damit ergeben sich die Herstellungsmatrix für die Zwischenprodukte
<math>
RZ = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}
</math>
sowie die Herstellungsmatrix für die Endprodukte
<math>
ZE = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
</math>
 
=== Transponierte Matrix berechnen ===
Gegeben sei die Matrix
<math>
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
</math>
 
Die transponierte Matrix ist dann
<math>
<math>
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},
A^T = \begin{pmatrix}
\quad
1 & 4 & 7 \\
B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}
</math>
</math>


Addition:
===Addition und Subtraktion von Matrizen===
Zwei Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre entsprechenden Elemente addiert bzw. subtrahiert. Die Matrizen müssen die gleiche Dimension haben.
 
Gegeben seien
<math>
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
</math>
dann wird die Summe durch
<math>
<math>
A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}
A + B = \begin{pmatrix}  
1+5 & 3+2 \\
2+1 & 4+3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 5 \\  
3 & 7
\end{pmatrix}
</math>
</math>
berechnet.


Subtraktion:
Gegeben seien
<math>
C = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}, \quad
D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}
</math>
dann wird die Differenz von C und D durch
<math>
<math>
A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
C - D = \begin{pmatrix}  
7-3 & 4-1 \\  
6-2 & 2-5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 3 \\
4 & -3  
\end{pmatrix}
</math>
</math>
berechnet.


=== Beispiel 3: Skalarmultiplikation ===
=== Skalarmultiplikation durchführen ===
Gegeben sei die Matrix
<math>
<math>
2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
0 & 3 & 5 \\
7 & 1 & 6
\end{pmatrix}
</math>
</math>
und der Skalar <math>\lambda = 3</math>


=== Beispiel 4: Matrixmultiplikation ===
Die skalare Multiplikation ergibt
<math>
<math>
C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
3 \cdot B = \begin{pmatrix}
3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 & 3 \cdot 1 \\
3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 5 \\
3 \cdot 7 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 6
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
6 & 12 & 3 \\
0 & 9 & 15 \\
21 & 3 & 18
\end{pmatrix}
</math>
</math>


===Das Skalarprodukt berechnen===
Der Zeilenvektor a und der Spaltenvektor b seien wie folgt gegeben:
<math>
a = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad
b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
</math>
Das Skalarprodukt wird dann durch
<math>
<math>
AC = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}
a \cdot b = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) = 8 - 2 + 3 = 9
</math>
</math>
berechnet.
===Multiplikation von Matrizen===
Gegeben seien die Matrizen
<math>
E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad
F = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
</math>,
dann werden diese durch
<math>
E \cdot F = \begin{pmatrix}
1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\
3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix}
</math>
miteinander multipliziert. Die Multiplikation ist nicht kommutativ, d. h. in der Regel gilt <math>E \cdot F \neq F \cdot E </math>.
<math>
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2
</math>
<math>
\lambda \cdot (G + H) = 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right)
</math>
<math>
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}
</math>
===Skalarmultiplikation, Addition sowie Multiplikation kombinieren===
Das folgende Beispiel zeigt, wie die Rechenoperationen kombiniert werden können.
<math>
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2, \quad \mu = 3
</math>
Berechnung von: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J)</math>
<math>
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \right)
</math>
Zuerst Matrixmultiplikation:
<math>
H \cdot J = \begin{pmatrix}
1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot1 + 4\cdot2 \\
2\cdot3 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 1\cdot2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 + 8 & 1 + 8 \\
6 + 2 & 2 + 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
11 & 9 \\
8 & 4
\end{pmatrix}
</math>
Dann Skalarmultiplikationen:
<math>
2 \cdot G = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad
3 \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix}
</math>
Schließlich Addition:
<math>
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4+33 & 2+27 \\
0+24 & 6+12
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
37 & 29 \\
24 & 18
\end{pmatrix}
</math>
Endergebnis: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix}</math>


[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
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