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Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.
Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen (insbesondere Verflechtungsmatrizen) werden häufig mit [[Gozintograph]]en grafisch veranschaulicht.


== Definition ==
== Definition ==
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</math>
</math>


\(m \times n\) ist das '''Format''' einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt '''quadratische Matrix'''. Die Elemente \(a_{11},...,a{mn}\) bilden die '''Hauptdiagonale''' der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben, heißt '''Einheitsmatrix'''. Eine Matrix die nur aus einer Spalte besteht, heißt '''Spaltenvektor'''. Eine Matrix die nur aus einer Zeile besteht, heißt '''Zeilenvektor'''.
\(m \times n\) ist das '''Format''' oder die '''Dimension''' einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt '''quadratische Matrix'''. Die Elemente \(a_{11}, \dots ,a_{nn}\) bilden die '''Hauptdiagonale''' der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben und sonst überall 0 sind, heißt '''Einheitsmatrix'''. Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, heißt '''Spaltenvektor'''. Eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht, heißt '''Zeilenvektor'''.


== Transponierte Matrix ==
== Transponierte Matrix ==
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\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>  
</math>  
eine \(m \times n\)-Matrix. Die '''transponierte Matrix''' \(A^T\) entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht. Es gilt  
eine \(m \times n\)-Matrix. Die '''transponierte Matrix''' \(A^T\) entsteht, indem man die Zeilen und Spalten vertauscht. Das Ergebnis ist eine \(n \times m\)-Matrix. Es gilt:


<math>
<math>
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== Addition ==
== Addition ==
Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
Zwei Matrizen lassen sich nur addieren, wenn sie das exakt gleiche Format haben. Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann werden diese komponentenweise addiert:
:<math>
:<math>
A + B = \begin{pmatrix}
A + B = \begin{pmatrix}
Zeile 48: Zeile 48:


== Subtraktion ==
== Subtraktion ==
Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
Analog zur Addition gilt für die Subtraktion zweier \(m \times n\)-Matrizen A und B:
:<math>
:<math>
A + B = \begin{pmatrix}
A - B = \begin{pmatrix}
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
Zeile 59: Zeile 59:


== Skalarmultiplikation ==
== Skalarmultiplikation ==
Es seien A eine \(m \times n\)-Matrix und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Skalar, dann gilt
Eine Matrix wird mit einer reellen Zahl (Skalar) multipliziert, indem man jeden einzelnen Eintrag der Matrix mit dieser Zahl multipliziert. Es sei A eine \(m \times n\)-Matrix und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Skalar, dann gilt:
:<math>
:<math>
\lambda \cdot A = \begin{pmatrix}
\lambda \cdot A = \begin{pmatrix}
Zeile 70: Zeile 70:


== Skalarprodukt ==
== Skalarprodukt ==
Gegeben seien ein Zeilenvektor <math>a \in \mathbb{R}^n</math> und Spaltenvektor <math>b \in \mathbb{R}^n</math>, dann ist das Skalarprodukt durch
Gegeben seien ein Zeilenvektor <math>a \in \mathbb{R}^n</math> und ein Spaltenvektor <math>b \in \mathbb{R}^n</math> (beide Vektoren müssen dieselbe Dimension <math>n</math> haben), dann ist das Skalarprodukt definiert durch:
:<math>
:<math>
a\cdot b=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots &  a_{n}  
a\cdot b=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots &  a_{n}  
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\  b_{n}  
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\  b_{n}  
\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 +... + a_n \cdot b_n
\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \dots + a_n \cdot b_n
</math>
</math>
definiert.


== Multiplikation ==
== Multiplikation ==
Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.
Zwei Matrizen lassen sich nur miteinander multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
 
Es sei A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix. Dann wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird (Merkregel: '''"Zeile mal Spalte"'''). Zur besseren Übersicht verwendet man hierfür häufig das [[Falksches_Schema|Falksche Schema]]. Das Ergebnis ist eine neue \(m \times n\)-Matrix.
 
== Rang ==
Der '''Rang''' einer [[Matrix]] ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.
 
Formal ist der Rang einer Matrix <math>A</math> die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten von <math>A</math>. Man bezeichnet ihn mit <math>\operatorname{rang}(A)</math>.
 
Der Rang kann mithilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] bestimmt werden:
* Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.
* Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
 
== Inverse ==
Die '''Inverse einer Matrix''' \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:
:<math>
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n
</math>
wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann unter anderem mit dem [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Bestimmung_der_Inversen|Gauß-Jordan-Algorithmus]] berechnet werden.


== Beispiele ==
== Beispiele ==


=== Aufstellen einer Transportmatrix und einer Kostenmatrix ===
=== Aufstellen einer Transportmatrix und einer Kostenmatrix ===
Ein Unternehmen betreibt drei Steinbrüche und zwei Betonwerke. In den Betonwerken wird der Kies aus den Steinbrüchen zu Beton verarbeitet. Für den Monat Februar sind diese Transporte in der nachfolgenden Tabelle dargestellt. Beispielsweise werden 150 t Kies im Februar von Steinbruch 2 nach Betonwerk 1 transportiert.
Ein Unternehmen betreibt drei Steinbrüche (S1 bis S3) und zwei Betonwerke (B1 und B2). Die in einem Monat transportierten Mengen Kies (in t) sowie die Transportkosten (in €/t) sind tabellarisch gegeben:


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Zeile 95: Zeile 112:
| '''S3'''  || 90  || 110
| '''S3'''  || 90  || 110
|}
|}
Die Transportkosten in € pro Tonne Kies sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Zeile 105: Zeile 120:
| '''S2'''  || 0,3  || 1
| '''S2'''  || 0,3  || 1
|-
|-
| '''S3'''  || 0,4   || 0,25
| '''S3'''  || 0,4 || 0,25
|}
|}


Daraus ergibt sich die Transportmatrix
Daraus ergibt sich die Transportmatrix <math>T</math> und die Kostenmatrix <math>K</math>:


:<math>
:<math>
Zeile 114: Zeile 129:
100 & 200 \\
100 & 200 \\
150 & 300 \\
150 & 300 \\
90 & 100 \\
90 & 110 \\
\end{pmatrix}, \quad
K = \begin{pmatrix}
0,5 & 2 \\
0,3 & 1 \\
0,4 & 0,25 \\
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>


sowie die Kostenmatrix
=== Aufstellen von Herstellungsmatrizen ===
Ein Unternehmen stellt aus Rohstoffen (R1, R2) über Zwischenprodukte (Z1, Z2, Z3) schließlich Endprodukte (E1, E2) her.
 
{| class="wikitable"
! Stückliste 1 !! Z1 !! Z2 !! Z3
|-
| '''R1''' || 3 || 2 || 4
|-
| '''R2''' || 5 || 1 || 3
|}
 
{| class="wikitable"
! Stückliste 2 !! E1 !! E2
|-
| '''Z1''' || 1 || 3
|-
| '''Z2''' || 2 || 4
|-
| '''Z3''' || 1 || 2
|}
 
Damit ergeben sich die Herstellungsmatrix <math>RZ</math> (Rohstoffe zu Zwischenprodukten) und <math>ZE</math> (Zwischenprodukte zu Endprodukten):
:<math>
RZ = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad
ZE = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
</math>


=== Transponierte Matrix berechnen ===
Gegeben sei die Matrix <math>A</math>. Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält man <math>A^T</math>:
:<math>
:<math>
K = \begin{pmatrix}
A = \begin{pmatrix}
0,5 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
0,3 & 1 \\
4 & 5 & 6 \\
0,4 & 0,25 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad
A^T = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>


=== Aufstellen von Herstellungsmatrizen ===
=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R1 und R2 die Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Endprodukte E1 und E2 ermittelt. Die benötigten Mengen in t werden in den folgenden Stücklisten zusammengefasst.
Gegeben seien
<math>
<math>
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad
\quad
B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
</math>
dann wird die Summe durch komponentenweise Addition berechnet:
:<math>
A + B = \begin{pmatrix}  
1+5 & 3+2 \\  
2+1 & 4+3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 5 \\
3 & 7
\end{pmatrix}
</math>
</math>


Addition:
Gegeben seien
<math>
<math>
A + B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}, \quad
D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}
</math>
dann wird die Differenz von C und D durch komponentenweise Subtraktion berechnet:
:<math>
C - D = \begin{pmatrix}
7-3 & 4-1 \\
6-2 & 2-5  
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 3 \\
4 & -3
\end{pmatrix}
</math>
</math>


Subtraktion:
=== Skalarmultiplikation durchführen ===
Gegeben sei die Matrix <math>B</math> und der Skalar <math>\lambda = 3</math>. Die Multiplikation ergibt:
:<math>
3 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
0 & 3 & 5 \\
7 & 1 & 6
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 & 3 \cdot 1 \\
3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 5 \\
3 \cdot 7 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 6
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
6 & 12 & 3 \\
0 & 9 & 15 \\
21 & 3 & 18
\end{pmatrix}
</math>
 
=== Das Skalarprodukt berechnen ===
Der Zeilenvektor <math>a</math> und der Spaltenvektor <math>b</math> seien wie folgt gegeben:
:<math>
a = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad
b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
</math>
Das Skalarprodukt wird dann berechnet durch:
:<math>
a \cdot b = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) = 8 - 2 + 3 = 9
</math>
 
=== Multiplikation von Matrizen ===
Gegeben seien die Matrizen
<math>
<math>
A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad
F = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
</math>.
Diese werden nach dem Prinzip "Zeile mal Spalte" multipliziert:
:<math>
E \cdot F = \begin{pmatrix}
1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\
3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix}
</math>
</math>
''Wichtig:'' Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h. im Allgemeinen gilt <math>E \cdot F \neq F \cdot E </math>.


=== Beispiel 3: Skalarmultiplikation ===
=== Kombination von Skalarmultiplikation und Addition ===
Gegeben seien:
<math>
<math>
2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2
</math>
Kombinierte Berechnung gemäß Klammerregeln (zuerst addieren, dann mit dem Skalar multiplizieren):
:<math>
2 \cdot (G + H) = 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right) = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}
</math>
</math>


=== Beispiel 4: Matrixmultiplikation ===
=== Komplexe Kombination verschiedener Rechenoperationen ===
Gegeben seien:
<math>
<math>
C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2, \quad \mu = 3
</math>
 
Zu berechnen ist der Term: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J)</math>
 
'''1. Schritt: Matrixmultiplikation (Klammer auflösen)'''
:<math>
H \cdot J = \begin{pmatrix}
1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot1 + 4\cdot2 \\
2\cdot3 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 1\cdot2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
11 & 9 \\
8 & 4
\end{pmatrix}
</math>
</math>


<math>
'''2. Schritt: Skalarmultiplikationen'''
AC = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}
:<math>
2 \cdot G = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad
3 \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix}
</math>
 
'''3. Schritt: Addition der Ergebnisse'''
:<math>
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
37 & 29 \\
24 & 18
\end{pmatrix}
</math>
</math>
Endergebnis: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix}</math>


[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
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