Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen
| (8 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 21: | Zeile 21: | ||
* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''. | * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''. | ||
* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''. | * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''. | ||
* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt. | * Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt. | ||
* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt. | * Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt. | ||
| Zeile 53: | Zeile 53: | ||
:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>. | :<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>. | ||
Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math> | Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>. | ||
Die kleinste Zahl <math> | Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert. | ||
Berechnung: | Berechnung: | ||
:<math>P(X | :<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math> | ||
→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = | → Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math> | ||
* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math> | * Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math> | ||
* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math> | * Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math> | ||
| Zeile 68: | Zeile 68: | ||
Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen. | Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen. | ||
=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen ( | === Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)=== | ||
Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden. | Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden. | ||
* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %). | * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %). | ||
| Zeile 83: | Zeile 83: | ||
:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math> | :<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math> | ||
→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = | → Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math> | ||
* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math> | * Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math> | ||
* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math> | * Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math> | ||
| Zeile 91: | Zeile 91: | ||
'''3. Entscheidung:''' | '''3. Entscheidung:''' | ||
Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen. | Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen. | ||
=== Münzwurf-Experiment ( | === Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)=== | ||
Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird. | Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird. | ||
* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair). | * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair). | ||
| Zeile 108: | Zeile 108: | ||
:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math> | :<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math> | ||
→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = | → Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math> | ||
* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math> | * Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math> | ||
* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math> | * Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math> | ||
| Zeile 116: | Zeile 116: | ||
'''3. Entscheidung:''' | '''3. Entscheidung:''' | ||
Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen. | Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen. | ||
=== Produktionskontrolle mit Glühlampen ( | === Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)=== | ||
Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen. | Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen. | ||
* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %). | * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %). | ||
| Zeile 133: | Zeile 133: | ||
:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math> | :<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math> | ||
→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = | → Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math> | ||
* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math> | * Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math> | ||
* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math> | * Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math> | ||