Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.

==Fehler 1. Art==

Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.

==Fehler 2. Art==

Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.

== Anwendungen ==

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== Beispiele ==

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (~~Linksseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).

Zeile 53:

Zeile 55:

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>x</math>, für die <math>P(X \ge x) > 0,05</math>.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

Die kleinste Zahl <math>x</math> mit <math>P(X ~~\ge x~~) \le 0,05</math> ist ~~der~~ kritische ~~Wert~~.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

Berechnung:

:<math>P(X \~~ge 4~~) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,~~043~~</math>

:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 4</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>2</math> ~~im Annahmebereich liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> nicht verworfen.

Es gilt <math>P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (~~Linksseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>

Berechnung ~~des~~ kritischen ~~Wertes~~:

Berechnung der kritischen Zahl:

:<math>P(X \ge 3) = 0,~~047~~ \le 0,05</math>

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.

:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,~~264~~ > 0,05</math>

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>

:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 3</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>3</math> im ~~Verwerfungsbereich liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> verworfen.

Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

=== Münzwurf-Experiment (~~Rechtsseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===

Es wird ~~eine Münze~~ <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:

:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>

Berechnung ~~des~~ kritischen ~~Wertes~~:

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,~~081~~ > 0,05</math>

:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 14</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>14</math> im Verwerfungsbereich ~~liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> verworfen.

Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (~~Rechtsseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>.

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (10 % ~~Ausfallrate~~).

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>

Berechnung ~~des~~ kritischen ~~Wertes~~:

Berechnung der kritischen Zahl:

Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.

Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.

:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,~~150~~ > 0,05</math>

:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>

→ ~~Kritischer Wert~~: <math>~~x_{\text{krit}}~~ = 0</math>

→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1,2,\dots,30\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>0</math> im ~~Verwerfungsbereich liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> verworfen.

Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.
-* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
+* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
 * Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.
 ==Fehler 1. Art==
-Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
+Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.
 ==Fehler 2. Art==
-Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
+Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
-Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
+Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.
 == Anwendungen ==
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 == Beispiele ==
-=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen.
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/GoFBcIUYvoY?si=l8gBziqVW2u_iCMr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></iframe></html>
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
@@ Zeile 53: / Zeile 55: @@
 :<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>x</math>, für die <math>P(X \ge x) > 0,05</math>.
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
-Die kleinste Zahl <math>x</math> mit <math>P(X \ge x) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
 Berechnung:
-:<math>P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>
+:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 4</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
 * Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 2</math>
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>2</math> im Annahmebereich liegt, wird <math>H_0</math> nicht verworfen.
+Es gilt <math>P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
-=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen.
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
-Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
-Berechnung des kritischen Wertes:
+Berechnung der kritischen Zahl:
-:<math>P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05</math>
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich.
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math>
-* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
-* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 3</math>
+<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>3</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
+Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
-=== Münzwurf-Experiment (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
-Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
+Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).
-Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:
+:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
-Berechnung des kritischen Wertes:
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
 :<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>
-:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>
+:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 14</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>
 * Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 14</math>
+<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>14</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
+Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
-=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
-Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>.
+Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.
-* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (10 % Ausfallrate).
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).
-* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
-Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
-Berechnung des kritischen Wertes:
+Berechnung der kritischen Zahl:
+Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
+Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
 :<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>
-:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>
+:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 0</math>
+→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
-* Annahmebereich: <math>\{1,2,\dots,30\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 0</math>
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>0</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
+Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]