Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Zeile 21:

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.

* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.

==Fehler 1. Art==

Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.

==Fehler 2. Art==

Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.

== Anwendungen ==

Zeile 41:

== Beispiele ==

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (~~Linksseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).

Zeile 53:

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>x</math>, für die <math>P(X \ge x) > 0,05</math>.

Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.

Die kleinste Zahl <math>x</math> mit <math>P(X ~~\ge x~~) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.

Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.

Berechnung:

:<math>P(X ~~\ge 4~~) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>

:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 4</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>2</math> ~~im Annahmebereich liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> nicht verworfen.

Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (~~Linksseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).

Zeile 83:

:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math>

* Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>3</math> im Verwerfungsbereich ~~liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> verworfen.

Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Münzwurf-Experiment (~~Rechtsseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===

Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen.

Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).

Zeile 108:

:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 14</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0,1,\dots,14\}</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15,16,\dots,40\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>14</math> im Verwerfungsbereich ~~liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> verworfen.

Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (~~Rechtsseitiger~~ Signifikanztest)===

=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>.

Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (10 % ~~Ausfallrate~~).

* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).

Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.

Zeile 133:

:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 0</math>

→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math>

* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1,2,\dots,30\}</math>

* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>

'''2. Beobachtung:'''

<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ist keine Lampe ausgefallen.

'''3. Entscheidung:'''

Da <math>0</math> im Verwerfungsbereich ~~liegt~~, ~~wird~~ <math>H_0</math> verworfen.

Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,042 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, dass keine einzige Lampe ausfällt. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.
-* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
+* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.
 * Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.
 ==Fehler 1. Art==
-Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
+Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.
 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.
 ==Fehler 2. Art==
-Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
+Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
-Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
+Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.
 == Anwendungen ==
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 == Beispiele ==
-=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen.
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
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 :<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>x</math>, für die <math>P(X \ge x) > 0,05</math>.
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math>.
-Die kleinste Zahl <math>x</math> mit <math>P(X \ge x) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.
+Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.
 Berechnung:
-:<math>P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>
+:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 4</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>
 * Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 2</math>
+<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>2</math> im Annahmebereich liegt, wird <math>H_0</math> nicht verworfen.
+Es gilt <math>P(X \ge 2) = 0,265 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.
-=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen.
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
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 :<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 2</math>
 * Annahmebereich: <math>\{0;1;2\}</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{3;4,\dots;50\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 3</math>
+<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>3</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
+Es gilt <math>P(X \ge 3) = 0,047 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
-=== Münzwurf-Experiment (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
-Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen.
+Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
 * Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair).
 * Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).
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 :<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 14</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 15</math>
-* Verwerfungsbereich: <math>\{0,1,\dots,14\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math>
-* Annahmebereich: <math>\{15,16,\dots,40\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 14</math>
+<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>14</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
+Es gilt <math>P(X \le 14) = 0,040 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es ungewöhnlich, höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
-=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
-Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>.
+Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen.
-* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (10 % Ausfallrate).
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %).
-* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
 Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
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 :<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>
-→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 0</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 1</math>
 * Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
-* Annahmebereich: <math>\{1,2,\dots,30\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math>
 '''2. Beobachtung:'''
-<math>X = 0</math>
+<math>X = 0</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe ist keine Lampe ausgefallen.
 '''3. Entscheidung:'''
-Da <math>0</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
+Es gilt <math>P(X \le 0) = 0,042 < 0,05</math>. Damit ist das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> wäre es eher ungewöhnlich, dass keine einzige Lampe ausfällt. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]