Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung werden Flächeninhalte zwischen dem Graphen einer Funktion der x-Achse berechnet.

Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der x-Achse im Intervall $[0;x]$ wird durch den Funktionswert einer Flächeninhaltsfunktion $A$ ermittelt.

Es sei $F$ die Stammfunktion zu einer ganzrationalen Funktion $f$ mit der Konstanten $C=0$, dann ist $F$ die Flächeninhaltsfunktion zu $f$.

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion $f$ auf dem Intervall $[a;b]$ ist durch

${\int }_a^{b}f(x)dx$

gegeben.

Für auf den Intervallen $[a;b]\subseteq [a;c]$ und $[b;c]\subseteq [a;c]$ stetige Funktionen $f,g$ gelten die folgenden Rechenregeln:

Faktorregel

${\int }_a^{b}c\cdot f(x)dx=c\cdot {\int }_a^{b}f(x)dx$

Summenregel

${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$

Intervalladditivität

${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$

Vertauschen der Integrationsgrenzen

${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

Definition

Falls $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, so wird das bestimmte Integral von $f$ auf dem Intervall $[a;b]$ durch die Gleichung

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

berechnet.

Hierbei bezeichnet $a$ die untere und $b$ die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an, das heißt:

• Liegt der Graph von $f$ oberhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral positiv.
• Liegt der Graph von $f$ unterhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral negativ.
• Liegt der Graph von $f$ sowohl unterhalb als auch oberhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral die Differenz aus dem oberen Flächeninhalt und dem unteren Flächeninhalt.

0,0

–o+←↓↑→

$$t$$

$$f(t)$$

a

b

$${\int }_{-2.00}^{2.00}f(t)dt=0.0000$$

$$f$$

Integralfunktion

Es sei $f$ eine auf dem Intervall $[a;b]$ stetige Funktion, dann ist

$I_a(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

die dazugehörige Integralfunktion.

Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln

Es seien $f,g$ auf dem Intervall $[a;b]$ stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von $f,g$ wird wie folgt ermittelt:

1. Schnittstellen $x_{S_1},\dots ,x_{S_n}$ mit $n\in \mathbb{N}$ der Graphen von $f,g$ ermitteln.
2. Stammfunktionen $F,G$ ermitteln
3. $A=|{\int }_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx|+|{\int }_{x_{S_2}}^{x_{S_3}}(f(x)-g(x))dx|+\cdots +|{\int }_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x))dx|$ berechnen. (siehe Betragsfunktion)

Beispiele

Flächeninhalt ermitteln

Das bestimmte Integral der Funktion $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $[1;2]$ berechnet sich durch ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{7}{3}$.

Wir berechnen das bestimmte Integral von $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $[1;2]$. Eine Stammfunktion von $f$ ist $F(x)=\frac{x^3}{3}$. Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch

${\int }_1^2{x}^{2}dx=F(2)-F(1)$

$=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$

berechnet. Der Graph von $f$ verläuft auf dem Intervall $[1;2]$ oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhalt beträgt somit $\frac{7}{3}$ Einheiten und ist im rechten Bild grün eingezeichnet.

Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f(t)=\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t$ und der x-Achse auf dem Intervall $[-2;2]$ (siehe Graph von $f$).

1. Nullstellen von $f$ berechnen

$\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t=0$

$t\approx -3,08\vee t\approx -1,59\vee t\approx 0\vee t\approx 1,59\vee t\approx 3,08$

$-1,59;0;1,59\in [-2;2]$

2. Flächeninhalt ermitteln

$A=|{\int }_{-2}^{-1,59}f(t)dt|+|{\int }_{-1,59}^{0}f(t)dt|+|{\int }_0^{1,59}f(t)dt|+|{\int }_{1,59}^{2}f(t)dt|$

$\approx |0,13|+|-0,58|+|0,58|+|-0,13|=0,13+0,58+0,58+0,13=1,42$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $A=1,42$. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall $[-2;2]$ beträgt ${\int }_{-2}^{2}f(t)dt=0$.

Orientierten Flächeninhalt ermitteln

Das bestimmte Integral der Funktion $f(x)=x$ auf dem Intervall $[-1;1]$ berechnet sich durch ${\int }_{-1}^{1}xdx=$$\frac{1}{2}$$-$$\frac{1}{2}$$=0$.

Wir betrachten $f(x)=x$ auf dem Intervall $[-1;1]$. Eine Stammfunktion von $f$ ist $F(x)=\frac{x^2}{2}$. Das bestimmte Integral ist:

${\int }_{-1}^{1}xdx=F(1)-F(-1)$

$=\frac{1^2}{2}-\frac{(-1{)}^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

Der orientierte Flächeninhalt beträgt $0$, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen.

Integralfunktion ermitteln

Gegeben sei $f(x)=3x$ und $a=0$. Die Integralfunktion ist:

$I_0(x)={\int }_0^{x}3tdt$.

Eine Stammfunktion von $3t$ ist $\frac{3t^2}{2}$, also gilt

$I_0(x)=\frac{3x^2}{2}-\frac{3\cdot 0^2}{2}=\frac{3x^2}{2}$.

Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln

Fläche zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln

Wir betrachten die Funktionen $f(x)=x^2+1$ und $g(x)=-x^2+3$ und ermitteln die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

1. Schnittstellen von $g,f$ ermitteln

$f(x)=g(x)$

$x^2+1=-x^2+3$

$2\cdot x^2=2$

$x^2=1$

$x=\pm \sqrt{1}$

$x=\pm 1$

2. Stammfunktionen ermitteln

$F(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x$

$G(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+3x$

3. Flächeninhalt ermitteln

${\int }_{-1}^1(f(x)-g(x))dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))$

$=\frac{1}{3}\cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3\cdot 1)$

$-(\frac{1}{3}\cdot (-1{)}^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1{)}^3+3\cdot (-1)))$

$=-\frac{8}{3}$ (orientierter Flächeninhalt)

Der gesuchte Flächeninhalt ist der Betrag der Zahl und beträgt $\frac{8}{3}$.