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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.


Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.
Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer [[ganzrationale_Funktion|ganzrationalen Funktion]] <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.


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==Bestimmtes Integral==
==Bestimmtes Integral==
Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch
Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch
:<math>\int_a^b f(x) dx</math>
:<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>
gegeben.
gegeben.


Für auf den Intervallen <math>[a;b]</math> und <math>[b;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln:
Für auf den Intervallen <math>[a;b] \subseteq [a;c]</math> und <math>[b;c] \subseteq [a;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln:
===Faktorregel===
===Faktorregel===
:<math>\int_a^b c \cdot  f(x) dx=c \cdot \int_a^b f(x) dx</math>
:<math>\int_a^b c \cdot  f(x) \, dx=c \cdot \int_a^b f(x) \, dx</math>
===Summenregel===
===Summenregel===
:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^bg(x) dx</math>
:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^bg(x) \, dx</math>
===Intervalladditivität===
===Intervalladditivität===
:<math>\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx</math>
:<math>\int_a^c f(x) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_b^c f(x) \, dx</math>


===Vertauschen der Integrationsgrenzen===
===Vertauschen der Integrationsgrenzen===
:<math>\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx</math>
:<math>\int_a^b f(x) \, dx=-\int_b^a f(x) \, dx</math>


==Definition==
==Definition==
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<head>
<head>
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         JXG.Options.text.useMathJax = true;       
         JXG.Options.text.useMathJax = true;       
         // Zweites JSXGraph-Board
         // JSXGraph-Board erstellen
         var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box2', { // Korrektur: 'box2' statt 'divid'
         var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box2', {
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         // Integral-Label anpassen
         // Integral-Label anpassen
         i1.label.setText(() => {
         i1.label.setText(() => {
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             return `\\[\\int_{${a}}^{${b}} f(t) \\, dt = ${value}\\]`;
             return `\\[\\int_{${a}}^{${b}} f(t) \\, dt = ${value}\\]`;
         });
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        // MathJax nach jeder Änderung neu ausführen
 
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            const a = i1.baseLeft.X().toFixed(2); // Untere Grenze
            const b = i1.baseRight.X().toFixed(2); // Obere Grenze
            const value = i1.Value().toFixed(4); // Wert des Integrals
            return `\\[\\int_{${a}}^{${b}} f(t) \\, dt = ${value}\\]`;
        });
        };
         // Beschriftung der Funktion mit f
         // Beschriftung der Funktion mit f
         board.create('text', [3.5, 3, 'f'], {
         board.create('text', [3.5, 3, '\\[f\\]'], {
             fontSize: 16,
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             anchorX: 'left',
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</body>
</html>
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==Integralfunktion==
==Integralfunktion==
Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist  
Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist  
:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t)d(t)</math>
:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t) \, dt</math>
die dazugehörige '''Integralfunktion'''.
die dazugehörige '''Integralfunktion'''.


==Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln==
==Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln==
Es seien <math>f, ~g</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von  <math>f, ~g</math> wird wie folgt ermittelt:
Es seien <math>f, ~g</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von  <math>f, ~g</math> wird wie folgt ermittelt:
# Schnittstellen <math>x_{S_1},...,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.
# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.
# Flächeninhalt durch <math>A=|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx|+\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx|+...+\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x))dx|</math> (siehe [[Betragsfunktion]])
# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln
# <math>A=|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx|+|\int_{x_{S_2}}^{x_{S_3}}(f(x)-g(x)) \, dx|+\dots+|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x)) \, dx|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])


==Beispiele==
==Beispiele==


===Flächeninhalt ermitteln===
===Flächeninhalt ermitteln===
[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 \, dx=\frac{7}{3}</math></span>.]]
Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>.   
Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>.   
Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>.   
Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>.   
Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch   
Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch   
:<math>\int_1^2 x^2 ~dx = F(2) - F(1)</math>   
:<math>\int_1^2 x^2 \, dx = F(2) - F(1)</math>   
:<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math>
:<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math>
berechnet.   
berechnet.   
Der Graph von <math>f</math> verläuft auf dem Intervall <math>[1;2]</math> oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhal beträgt somit <math>\frac{7}{3}</math> Einheiten und ist im rechten Bild grün eingezeichnet.
Der Graph von <math>f</math> verläuft auf dem Intervall <math>[1;2]</math> oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhalt beträgt somit <math>\frac{7}{3}</math> Einheiten und ist im rechten Bild grün eingezeichnet.
 
Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(t)=\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t\) und der x-Achse auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> (siehe [[Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung#Definition|Graph von <math>f</math>]]).


[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 ~ dx=\frac{7}{3}</math></span>.]]
1. Nullstellen von <math>f</math> berechnen
:<math>\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t=0</math>
:<math>t \approx -3,08 \lor t \approx -1,59 \lor t \approx 0 \lor t \approx 1,59 \lor t \approx 3,08</math>
:<math>-1,59; 0; 1,59 \in [-2;2]</math>
2. Flächeninhalt ermitteln
:<math>A=|\int_{-2}^{-1,59} f(t) \, dt|+|\int_{-1,59}^{0} f(t) \, dt|+|\int_{0}^{1,59} f(t) \, dt|+|\int_{1,59}^{2} f(t) \, dt| </math>
:<math>\approx |0,13|+|-0,58|+|0,58|+|-0,13| = 0,13+0,58+0,58+0,13= 1,42</math>
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt <math>A=1,42</math>. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> beträgt <math>\int_{-2}^{2} f(t) \, dt=0</math>.


===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===
===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===
[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x \, dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]]
Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.   
Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.   
Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>.   
Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>.   
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:<math>= \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0</math>.   
:<math>= \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0</math>.   
Der orientierte Flächeninhalt beträgt <math>0</math>, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen.
Der orientierte Flächeninhalt beträgt <math>0</math>, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen.
[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x ~ dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]]


===Integralfunktion ermitteln===
===Integralfunktion ermitteln===
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===Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln===
===Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln===
[[Datei:HauptsatzIntFlächenZwGraphen.gif|mini|Fläche zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln]]
Wir betrachten die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x)=-x^2+3</math> und ermitteln die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.
1. Schnittstellen von <math>g,~f</math> ermitteln <br>
:<math>f(x)=g(x)</math>
:<math>x^2+1=-x^2+3</math>
:<math>2 \cdot x^2=2</math>
:<math> x^2=1</math>
:<math> x=\pm \sqrt{1}</math>
:<math>x=\pm 1</math>
2. Stammfunktionen ermitteln
:<math>F(x)=\frac{1}{3}x^3+x</math>
:<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math>
3. Flächeninhalt ermitteln
:<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x)) \, dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math>
:<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math>
:<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math>
:<math>=-\frac{8}{3}</math> (orientierter Flächeninhalt)


[[Datei:HauptsatzIntFlächenZwGraphen.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 ~ dx=\frac{7}{3}</math></span>.]]
Der gesuchte Flächeninhalt ist der [[Betragsfunktion|Betrag]] der Zahl und beträgt <span style="color:green"><math>\frac{8}{3}</math></span>.
<gallery>
[[Datei:HauptsatzIntFlächenZwGraphen.gif|mini|Fläche zwischen Graphen von zwei Funktionen ermitteln]]
</gallery>


[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
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