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Gewinnfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.
Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.


==Definition==
== Definition ==
Eine Funktion, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist wie zuvor <math>x \in[0;x_{max}]</math>. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten: <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)</math>
Eine [[Funktion]] <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math>, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist <math>x \in \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;x_{\text{max}}]</math>, wobei <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math> der '''[[Ökonomischer Definitionsbereich|ökonomische Definitionsbereich]]''' und <math>x_{\text{max}} \in\ \mathbb{R}</math> die '''[[Kapazitätsgrenze]]''' ist.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/aQ0J7uPZDJ0?si=gQsaFaVl-BBUPUfA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
Die Variable <math>x</math> ist häufig in ME (Mengeneinheiten) und <math>G(x)</math> in GE (Geldeinheiten) gegeben. Die Gewinnfunktion ist definiert als die Differenz aus der [[Erlösfunktion]] und der [[Kostenfunktion]]:


==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==
<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.


==Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen==
[https://www.youtube.com/watch?v=aQ0J7uPZDJ0 Video-Einführung zur Gewinnfunktion auf YouTube]
Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt <math>S(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point (BEP)'''. Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.


==Beispiele==
== Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone ==
===Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===
<html>
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die variablen Stückkosten betragen 18 € pro Fahrrad. Die Produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die Kapazitätsgrenze beträgt 30 Stück. Wie hoch ist der Gewinn, falls die Kapazitätsgrenze erreicht wird?
<iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/_vqa1xXnhbo?si=5KfGdcpo-AxkEs6v" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>
</html>


Für die Kostenfunktion gilt <math>K(x)=18x\ +2700</math> mit <math>K_v=18</math> und <math>K_f=2700</math>. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v=300</math> und die Erlösfunktion <math>E(x)=300x</math>. Die Gewinnfunktion ist also <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K\left(x\right)=300x\ -\left(18x\ +2700\right)=282x-2700</math>. Also ist der Gewinn für die Kapazitätsgrenze <math>G(30)=282 \cdot 30-2700=5760</math> €.
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion.
* Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist.  
* Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist.
* In der '''Gewinnzone''', dem Intervall <math>[x_s; x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die das Unternehmen einen Gewinn erzielt (der Gewinn ist nicht negativ).  


===Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten===
Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden berechnet, indem man den Erlös den Kosten gleichsetzt (<math>E(x) = K(x)</math>) oder die Gewinnfunktion gleich null setzt (<math>G(x) = 0</math>). Sie sind also die [[Nullstelle|Nullstellen]] der Gewinnfunktion.
Die variable Kostenfunktion für ein Produkt ist durch <math>K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x</math> gegeben. Die Fixkosten betragen 20 GE. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 32,8 GE.


Die Erlösfunktion, die Kostenfunktion und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:  
== Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen ==
Für eine lineare Gewinnfunktion <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> mit der Gewinnschwelle <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt der Punkt <math>BEP(x_s | E(x_s))</math> der '''Break-Even-Point'''. Dies ist der Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.


<math>E(x)=32,8x</math>
== Gewinnmaximum ==
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Das [[Extremwert#Definition|globale Maximum]] <math>G(x_0)</math> von <math>G</math> heißt '''Gewinnmaximum'''. Die dazugehörige [[Extremwert#Definition|Maximalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt '''gewinnmaximale Ausbringungsmenge'''.


<math>K(x)=K_v(x)+K_f=,2x^3-4x^2+30x+20</math>
== Beispiele ==


<math>G(x)=E(x)-K(x)=32,8x-(0,2x^3-4x^2+30x+20)=32,8x-0,2x^3+4x^2-30x-20=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>
=== Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren ===
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die [[Kurzfristige_Preisuntergrenze#Variable_Stückkostenfunktion|variablen Stückkosten]] betragen 30 € pro Fahrrad. Die produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die [[Kapazitätsgrenze]] beträgt 40 Stück. Wir analysieren im Folgenden die Gewinnsituation.


==== Gewinnfunktion herleiten ====
Für die [[Kostenfunktion]] gilt <math>K(x) = 30x + 2700</math> mit <math>K_v = 30</math> und <math>K_f = 2700</math>.
Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v(x) = 300</math> und die [[Erlösfunktion]] ist <math>E(x) = 300x</math>.


Die Gewinnfunktion wird berechnet durch:
<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
<math>G(x) = 300x - (30x + 2700)</math>
<math>G(x) = 270x - 2700</math>


===Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln===
==== Gewinn berechnen ====
Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> gilt
Der Gewinn für die Auslastung an der Kapazitätsgrenze (<math>x = 40</math>) beträgt:
<math>G(40) = 270 \cdot 40 - 2700 = 10800 - 2700 = 8100</math> €


<math>282x-2700=0\ |+2700</math>
==== Gewinnschwelle berechnen ====
Wir setzen die Gewinnfunktion gleich null:


<math>282x=2700\ |:282</math>
<math>G(x) = 0</math>
<math>270x - 2700 = 0 \quad | +2700</math>
<math>270x = 2700 \quad | :270</math>
<math>x = 10</math>


<math>x \approx 9,57</math>
Die Gewinnschwelle beträgt <math>x_s = 10</math> Fahrräder.


für die Gewinnschwelle.
Alternativ können wir die [[Erlösfunktion]] und die [[Kostenfunktion]] gleichsetzen, um die Gewinnschwelle zu berechnen:


===Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung===
<math>E(x) = K(x)</math>
[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20</math>]]
<math>300x = 30x + 2700 \quad | -30x</math>
Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.
<math>270x = 2700 \quad | :270</math>
<math>x = 10</math>


Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die Nullstellen mit dem Taschenrechner berechnen:
==== Break-Even-Point berechnen ====
Um den entsprechenden Erlös/Kosten-Wert zu erhalten, setzen wir die Gewinnschwelle in die Erlösfunktion ein:
<math>E(10) = 300 \cdot 10 = 3000</math>


<math>0=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>
Der Break-Even-Point ist damit <math>BEP(10 | 3000)</math>. Werden 10 ME produziert, sind die Kosten und der Erlös gleich hoch und betragen jeweils 3000 €.


<math>x_1 \approx -2,45, x_2=2, x_3 \approx 20,45</math>
=== Eine ganzrationale Gewinnfunktion dritten Grades herleiten und analysieren ===
Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME, die Gewinngrenze 20,45 ME, die Gewinnzone beträgt <math>[2;20,45]</math> und der ökonomische Definitionsbereich beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;20,45] </math>. Um den Graphen der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:
Die variable [[Kostenfunktion]] für ein Produkt ist durch <math>K_v(x) = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x</math> gegeben. Die [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] betragen 20 GE. Der [[Erlösfunktion#Definition|Verkaufspreis]] pro Stück beträgt 32,8 GE.
 
==== Gewinnfunktion herleiten ====
Die [[Erlösfunktion]], die [[Kostenfunktion]] und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:
 
<math>E(x) = 32,8x</math>
<math>K(x) = K_v(x) + K_f = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20</math>
 
<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
<math>G(x) = 32,8x - (0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20)</math>
<math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 32,8x - 30x - 20</math>
<math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>
 
==== Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone berechnen ====
[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>]]
Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die [[Nullstelle|Nullstellen]] der berechneten Gewinnfunktion mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] bestimmen:
 
<math>0 = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>
 
<math>x_1 \approx -2,45 \quad (\text{ökonomisch nicht sinnvoll, da } x \geq 0)</math>
<math>x_2 = 2</math>
<math>x_3 \approx 20,45</math>
 
* Die '''Gewinnschwelle''' beträgt 2 ME.
* Die '''Gewinngrenze''' liegt bei ca. 20,45 ME.
* Die '''Gewinnzone''' ist das Intervall <math>[2; 20,45]</math>.
* Der '''ökonomische Definitionsbereich''' beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}} = [0; 20,45]</math>, da keine weitere Kapazitätsgrenze gegeben ist.
 
==== Graph der Gewinnfunktion zeichnen ====
Um den [[Graph|Graphen]] der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|-
|-
| x||0||2||4|| 6||8||10|| 12|| 14|| 16|| 18|| 20|| 22
! <math>x</math>
| 0 || 2 || 4 || 6 || 8 || 10 || 12 || 14 || 16 || 18 || 20 || 22
|-
|-
| G(x)|| -20|| 0|| 42,4 || 97,6 || 156 || 208|| 244|| 254,4|| 229,6|| 160|| 36|| -160
! <math>G(x)</math>
| -20 || 0 || 42,4 || 97,6 || 156 || 208 || 244 || 254,4 || 229,6 || 160 || 36 || -152
|}
|}


Beispielsweise gilt <math>G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4</math>. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite.
Beispielrechnung für <math>x = 4</math>:
 
<math>G(4) = -0,2 \cdot 4^3 + 4 \cdot 4^2 + 2,8 \cdot 4 - 20 = -12,8 + 64 + 11,2 - 20 = 42,4</math>
===Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln===
Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> mit <math>K(x)=18x+2700</math> und <math>E(x)=300x</math> ist <math>x \approx 9,57</math> die Gewinnschwelle (siehe Beispiel Gewinnschwelle). Der Break-Even-Point ergibt sich durch Einsetzen in die Erlösfunktion <math>E(9,57)\approx300\cdot 9,57\approx2872,34</math> und ist damit <math>S(9,57|2872,34)</math>. Alternativ können die Erlösfunktion und die Kostenfunktion gleichgesetzt werden:


<math>E(x)=K(x)</math>
Wir zeichnen die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden diese, um den Graphen zu erhalten. Wir können grob ablesen, dass die gewinnmaximale Ausbringungsmenge bei ca. 13,67 ME und das Gewinnmaximum bei knapp 255 GE liegt.


<math>300x=18x+2700\ |-18x</math>
==== Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und Gewinnmaximum ermitteln ====
Das Gewinnmaximum berechnen wir exakt über die Ableitungen der Gewinnfunktion:
<math>G'(x) = -0,6x^2 + 8x + 2,8</math>
<math>G''(x) = -1,2x + 8</math>


<math>300x-18x=2700\ |-2700</math>
# '''Notwendige Bedingung''': <math>G'(x) = 0</math>
<br><math>-0,6x^2 + 8x + 2,8 = 0</math>
<br>Lösen mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] liefert:
<br><math>x_1 \approx -0,34 \notin \mathbb{D}_{\text{ök}}</math>
<br><math>x_2 \approx 13,67 \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math>


<math>282x-2700=0</math>
# '''Hinreichende Bedingung''': Überprüfen der zweiten Ableitung
<br><math>G''(13,67) = -1,2 \cdot 13,67 + 8 \approx -8,4 < 0</math>  
<br>Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei <math>x \approx 13,67</math> ein Hochpunkt (Maximum) vor.


Der Term im letzten Rechenschritt entspricht genau der Gewinnfunktion. Die restliche Rechnung läuft dann analog zu oben.
# '''Extremwert (Gewinnmaximum) berechnen''':
<br><math>G(13,67) = -0,2 \cdot (13,67)^3 + 4 \cdot (13,67)^2 + 2,8 \cdot 13,67 - 20 \approx 254,85</math>
<br>Das Gewinnmaximum beträgt ca. 254,85 GE bei einer gewinnmaximalen Ausbringungsmenge von ca. 13,67 ME.


[[Kategorie:Mathematische]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:Fachabitur]]
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
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