Baumdiagramm (Wahrscheinlichkeitsrechnung): Unterschied zwischen den Versionen
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Ein '''Baumdiagramm''' ist eine grafische Darstellung zur Veranschaulichung mehrstufiger [[Zufallsexperiment|Zufallsexperimente]]. Es dient dazu, alle möglichen Ausgänge und [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnisse]] des Experiments übersichtlich zu strukturieren sowie die zugehörige [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] mithilfe der Pfadregeln zu ermitteln. | |||
Ein '''Baumdiagramm''' | |||
==Aufbau eines Baumdiagramms== | |||
Ein Baumdiagramm verzweigt sich von links nach rechts (oder von oben nach unten) über die einzelnen Stufen des Zufallsversuchs: | |||
*'''Wurzel (Startknoten):''' Der Ausgangspunkt vor Beginn des Zufallsexperiments. | |||
Die ''' | *'''Kanten (Zweige / Äste):''' Sie stellen die einzelnen Teilschritte bzw. Entscheidungen einer Stufe dar. Jeder Zweig wird mit der jeweiligen Stufenwahrscheinlichkeit beschriftet (bei stochastischer Abhängigkeit mit der entsprechenden [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]]). | ||
*'''Knoten:''' Die Verzweigungspunkte stellen erreichte Zwischenzustände nach einer Stufe dar. | |||
*'''Pfade:''' Eine zusammenhängende Kette von Kanten, die an der Wurzel beginnt und an einem Endknoten (Blatt) endet, heißt '''Pfad'''. Jeder vollständige Pfad repräsentiert genau ein Elementarergebnis <math>e \in \Omega</math> des Gesamtexperiments. | |||
*'''Endknoten:''' Am Ende jedes Pfades wird das resultierende Ergebnis notiert, meist zusammen mit der berechneten Pfadwahrscheinlichkeit. | |||
== | <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/cVmoFlKKJVE?si=5UQKeQHvXJgjtzYT" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | ||
== | ==Pfadregeln zur Wahrscheinlichkeitsberechnung== | ||
Zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm gelten zwei fundamentale Regeln: | |||
===Zufallsexperiment | <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ZWALk4haajQ?si=NeCjRGKV_jbnxEUk" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | ||
===1. Pfadregel (Pfadmultiplikationsregel)=== | |||
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (also eines vollständigen Pfades von der Wurzel zum Endknoten) ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang der Kanten dieses Pfades. | |||
Für einen Pfad mit den Stufenwahrscheinlichkeiten <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math> gilt: | |||
<math>P(e) = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n</math> | |||
Bei abhängigen Ereignissen entspricht dies dem Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten: | |||
<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)</math> | |||
===2. Pfadregel (Pfadadditionsregel)=== | |||
Setzt sich ein [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignis]] <math>E</math> aus mehreren Pfaden (Ergebnissen) zusammen, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen günstigen Pfade. | |||
<math>P(E) = \sum_{e \in E} P(e)</math> | |||
===Knotenregel (Verzweigungsregel)=== | |||
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Zweige, die von einem gemeinsamen Knoten ausgehen, beträgt stets genau <math>1</math> (bzw. <math>100\,\%</math>): | |||
<math>\sum p_{\text{Zweig}} = 1</math> | |||
==Beispiel: Dreifacher Münzwurf== | |||
===Grafische Modellierung im Baumdiagramm=== | |||
[[Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungDreiMünz.png|mini|Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs]] | [[Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungDreiMünz.png|mini|Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs]] | ||
Eine Münze wird dreimal geworfen | Eine faire Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Bei jedem Wurf kann entweder Zahl (Z) oder Kopf (K) fallen. Die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] des Gesamtexperiments lautet: | ||
<math>\Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\}</math> | |||
*Vom Startknoten führen zwei Kanten zu den Knoten <math>\mathrm{Z}</math> und <math>\mathrm{K}</math> (1. Wurf). | |||
*Von diesen beiden Knoten verzweigt sich der Baum in der 2. Stufe erneut in jeweils <math>\mathrm{Z}</math> und <math>\mathrm{K}</math>. | |||
*In der 3. Stufe entstehen so insgesamt <math>2^3 = 8</math> Pfade und Endknoten. | |||
*Der Pfad <math>\text{Start} \to \mathrm{Z} \to \mathrm{K} \to \mathrm{Z}</math> beschreibt beispielsweise das Ergebnis: 1. Wurf Zahl, 2. Wurf Kopf, 3. Wurf Zahl (<math>\mathrm{ZKZ}</math>). | |||
Betrachtet man das Ereignis <math>B</math>: „Es erscheint mindestens zweimal hintereinander Zahl“, so umfasst dieses die Pfade: | |||
<math>B = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{KZZ}\}</math> | |||
===Berechnung der Wahrscheinlichkeiten=== | |||
[[Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungDreiMünzWahr.png|mini|Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs mit Wahrscheinlichkeiten]] | |||
Da die Münze ideal ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit bei jedem Einzelwurf für Kopf bzw. Zahl jeweils <math>p = 0{,}5</math>. | |||
Definiert man eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> als die Anzahl der Treffer „Zahl“, so kann <math>X</math> die Werte <math>k \in \{0, 1, 2, 3\}</math> annehmen. | |||
Die | '''Anwendung der 1. Pfadregel (Pfadmultiplikation):''' | ||
Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis <math>\mathrm{ZZZ}</math> (dreimal Zahl) berechnet sich durch Multiplikation der Kantenwahrscheinlichkeiten: | |||
<math>P(\mathrm{ZZZ}) = P(X = 3) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125 = 12{,}5\,\%</math> | |||
<math>P | Da alle 8 Pfade dieselben Kantenwahrscheinlichkeiten besitzen, hat jeder der 8 Pfade die Wahrscheinlichkeit <math>P(e) = 0{,}125</math> (es liegt ein [[Laplace-Experiment]] vor). | ||
'''Anwendung der 2. Pfadregel (Pfadaddition):''' | |||
*'''Ereignis <math>A</math>:''' „Die ersten beiden Würfe ergeben Zahl“ (<math>A = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}\}</math>): | |||
:<math>P(A) = P(\mathrm{ZZZ}) + P(\mathrm{ZZK}) = 0{,}125 + 0{,}125 = 0{,}250 = 25{,}0\,\%</math> | |||
*'''Ereignis <math>B</math>:''' „Mindestens zweimal hintereinander Zahl“ (<math>B = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{KZZ}\}</math>): | |||
:<math>P(B) = P(\mathrm{ZZZ}) + P(\mathrm{ZZK}) + P(\mathrm{KZZ}) = 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 = 0{,}375 = 37{,}5\,\%</math> | |||
<math> | ===Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen <math>X</math>=== | ||
Fasst man die Pfadwahrscheinlichkeiten nach den Werten der Zufallsvariablen <math>X</math> zusammen, ergibt sich die folgende Verteilungstabelle: | |||
{| class="wikitable" style="text-align:center;" | |||
|- | |||
! Wert <math>k</math> (Anzahl Zahl) !! Günstige Pfade aus <math>\Omega</math> !! Anzahl Pfade !! Wahrscheinlichkeit <math>P(X = k)</math> | |||
|- | |||
| 0 || <math>\{\mathrm{KKK}\}</math> || 1 || <math>1 \cdot 0{,}125 = 0{,}125</math> (<math>12{,}5\,\%</math>) | |||
|- | |||
| 1 || <math>\{\mathrm{ZKK}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}\}</math> || 3 || <math>3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375</math> (<math>37{,}5\,\%</math>) | |||
|- | |||
| 2 || <math>\{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{KZZ}\}</math> || 3 || <math>3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375</math> (<math>37{,}5\,\%</math>) | |||
|- | |||
| 3 || <math>\{\mathrm{ZZZ}\}</math> || 1 || <math>1 \cdot 0{,}125 = 0{,}125</math> (<math>12{,}5\,\%</math>) | |||
|- | |||
| '''Summe''' || || '''8''' || '''<math>1{,}000</math> (<math>100\,\%</math>)''' | |||
|} | |||
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] | [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] | ||
[[Kategorie: | [[Kategorie:FHR WuV Mathe]] | ||
[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]] | |||