FLBK-Wiki

Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

← Zum vorherigen Versionsunterschied
Flbkwikiadmin (Diskussion | Beiträge)
Bürokraten, Oberflächenadministratoren, Administratoren
2.241 Bearbeitungen
VisuellWikitext
 
(39 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 21: Zeile 21:
* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.   
* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.   
* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.   
* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.   
* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird '''kritische Zahl''' genannt.   
* Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt und im Annahmebereich liegt, wird '''kritische Zahl''' genannt.   
* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.
* Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird '''Irrtumswahrscheinlichkeit''' oder '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> genannt.


==Fehler 1. Art==   
==Fehler 1. Art==   
Ein '''Fehler 1. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.   
Ein '''Fehler 1. Art (<math>\alpha-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.   
Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.
Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.


==Fehler 2. Art==   
==Fehler 2. Art==   
Ein '''Fehler 2. Art''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.   
Ein '''Fehler 2. Art (<math>\beta-Fehler</math>)''' tritt auf, wenn die Nullhypothese <math>H_0</math> beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.   
Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet. Dieser kann bei Signifikanztests nicht berechnen werden, da für die Alternativhypothese keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist.
 
== Anwendungen ==
 
*Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
*Risikoabschätzung in Versicherungen
*Analyse von Produktionsprozessen
*Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen


== Beispiele ==
== Beispiele ==


=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert (''einseitiger Test nach oben'').
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/GoFBcIUYvoY?si=l8gBziqVW2u_iCMr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></iframe></html>
 
Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %). 
* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
 
Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.


'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''


Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.


'''2. Beobachtung:'''
Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt. 
Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich. 
Berechnung: 
:<math>P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,076 > 0,05</math>
:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,016 \le 0,05</math> 


In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math> 
* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math> 
* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;20\}</math>


'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
'''2. Beobachtung:'''
<math>X = 2</math>, d. h. in der 20-teiligen Stichprobe wurden 2 fehlerhafte Teile gefunden.


Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
'''3. Entscheidung:''' 
:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
Es gilt <math>P(X \ge 2) \approx 0,264 > 0,05</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist deutlich größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. Liegt eine Fehlerquote von 5 % vor, ist es nicht ungewöhnlich 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.


Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden. 
* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %). 
* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %). 


Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
 
'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''


Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
:<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>


Damit:
Berechnung der kritischen Zahl:
:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>k</math>, für die <math>P(X \ge k) > 0,05</math> gilt.
Die kleinste Zahl <math>k</math> mit <math>P(X > k) \le 0,05</math> ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt noch im Annahmebereich. 
:<math>P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,018 \le 0,05</math> 
:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 0,078 > 0,05</math>


'''4. Entscheidung:'''
→ Kritische Zahl: <math>k = 3</math> 
* Annahmebereich: <math>\{0;1;2;3\}</math> 
* Verwerfungsbereich: <math>\{4;5;\dots;50\}</math> 


Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
'''2. Beobachtung:''' 
<math>X = 3</math>, d. h. in der 50-teiligen Stichprobe wurden 3 fehlerhafte Teile gefunden.


Die Nullhypothese wird ''nicht verworfen''.
'''3. Entscheidung:''' 
Es gilt <math>P(X \ge 3) \approx 0,078 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis noch im Annahmebereich. Die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, ist mit knapp 7,8 % größer als das Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math>. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen.


Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.
=== Münzwurf-Experiment (Linksseitiger Signifikanztest)===
Eine Münze wird <math>n=40</math>-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie häufig Kopf geworfen wird.
* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 50 %, d. h. die Münze ist fair). 
* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (Die Münze fällt seltener auf Kopf).


=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.


'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''


Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist:
:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
:<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.


'''2. Beobachtung:'''
Berechnung der kritischen Zahl: 
Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.  
Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math> 
:<math>P(X \le 15) \approx 0,077 > 0,05</math> 


In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
→ Kritische Zahl: <math>k = 15</math>
* Verwerfungsbereich: <math>\{0;1;\dots;14\}</math> 
* Annahmebereich: <math>\{15;16;\dots;40\}</math> 


'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
'''2. Beobachtung:'''
<math>X = 14</math>, d. h. bei 40 Würfen trat 14-mal Kopf auf. 


Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
'''3. Entscheidung:''' 
:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
Es gilt <math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>. Damit fällt das Ergebnis in den Verwerfungsbereich. Unter <math>H_0</math> ist es extrem ungewöhnlich (Wahrscheinlichkeit von ca. 4 %), höchstens 14-mal Kopf zu beobachten. <math>H_0</math> wird verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Verwerfungsbereich getroffen.


Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Linksseitiger Signifikanztest)===
:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele Lampen in der Stichprobe ausfallen. 
* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (Die Ausfallrate beträgt 10 %). 
* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Die Ausfallrate ist kleiner als 10 %). 


Dann:
Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden.
:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>


'''4. Entscheidung:'''
'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''


Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
 
:<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
Die Nullhypothese wird ''verworfen'': Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
 
=== Anwendungen ===


Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
Berechnung der kritischen Zahl: 
Bei einem linksseitigen Test markiert die größte Zahl <math>k</math>, für die <math>P(X \le k) \le 0,05</math> gilt, das Ende des Verwerfungsbereichs.
Die darauf folgende Zahl ist die kritische Zahl, sie markiert den Übergang und liegt im Annahmebereich.
:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math> 
:<math>P(X \le 1) \approx 0,184 > 0,05</math> 


Risikoabschätzung in Versicherungen
→ Kritische Zahl: <math>k = 1</math> 
* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math> 
* Annahmebereich: <math>\{1;2;\dots;30\}</math> 


Analyse von Produktionsprozessen
'''2. Beobachtung:''' 
<math>X = 2</math>, d. h. in der 30-teiligen Stichprobe sind 2 Lampen ausgefallen. 


Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
'''3. Entscheidung:''' 
Es gilt <math>P(X \le 2) \approx 0,411 > 0,05</math>. Damit liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Unter <math>H_0</math> ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,1 % überhaupt nicht ungewöhnlich, höchstens 2 ausgefalle Lampen zu beobachten. <math>H_0</math> wird nicht verworfen. Diese Entscheidung wird für alle Werte im Annahmebereich getroffen. 


[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
Abgerufen von „https://wiki.flbk-hamm.de/Signifikanztest“