Gozintograph

Ein Gozintograph (von engl. goes into = „geht hinein“) ist ein gerichteter Graph, der die Zerlegung eines Endprodukts in seine Einzelteile oder Komponenten beschreibt. Jede Kante stellt dabei eine „Gozinto“-Beziehung dar: Sie zeigt von einer Komponente auf das Produkt, in das sie eingeht. Der Gozintograph ist ein zentrales Hilfsmittel in der Produktionsplanung und Stücklistenverwaltung.

Definition

Ein Gozintograph ist ein gerichteter, azyklischer Graph

[math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math]

mit:

• [math]\displaystyle{ V }[/math] als Menge der Knoten (Produkte oder Komponenten),
• [math]\displaystyle{ E \subseteq V \times V }[/math] als Menge der gerichteten Kanten.

Zusätzlich besitzt jede Kante ein Gewicht [math]\displaystyle{ a_{ij} \in \mathbb{N} }[/math]. Eine Kante [math]\displaystyle{ (v_i,v_j)\in E }[/math] mit Gewicht [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] bedeutet, dass zur Herstellung des Produkts [math]\displaystyle{ v_j }[/math] genau [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] Einheiten der Komponente [math]\displaystyle{ v_i }[/math] benötigt werden.

Da rekursive Stücklisten ausgeschlossen werden, enthält ein Gozintograph keine Zyklen.

Zusammenhang zu Matrizen

Die Informationen eines Gozintographen lassen sich in einer sogenannten Gozintomatrix darstellen.

Dies ist eine Matrix

[math]\displaystyle{ A=(a_{ij}) }[/math]

bei der das Element [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] die Anzahl der Einheiten der Komponente [math]\displaystyle{ i }[/math] angibt, die unmittelbar zur Herstellung des Produkts [math]\displaystyle{ j }[/math] benötigt werden.

Unter der Voraussetzung, dass der Gozintograph zyklusfrei ist und [math]\displaystyle{ I-A }[/math] invertierbar ist, kann der Gesamtbedarf aller Komponenten über die Gleichung

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{y} }[/math]

bestimmt werden, wobei:

• [math]\displaystyle{ \mathbf{y} }[/math] den Vektor der Endprodukte,
• [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] den Vektor der insgesamt benötigten Komponentenmengen

beschreibt.

Beispiele

Produktion eines Produkts aus Einzelteilen

Im folgenden Beispiel werden fünf Bauteile [math]\displaystyle{ B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 }[/math] aus vier Einzelteilen [math]\displaystyle{ E_1,E_2,E_3,E_4 }[/math] gefertigt. Die Pfeile zeigen, welche Einzelteile in welches Bauteil eingehen. Die Zahlen an den Pfeilen geben die benötigte Stückzahl an.

Die Gozintomatrix zum oberen Gozintographen kann aus folgender Tabelle abgeleitet werden:

	B1	B2	B3	B4	B5
E1	2	2	1	2	1
E2	1	1	1	0	0
E3	0	0	1	1	0
E4	0	0	0	1	2

und ist durch

[math]\displaystyle{ A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

gegeben.

Produktion von Spielwaren aus Rohstoffen über Zwischenprodukte

Ein Spielwarenhersteller produziert aus drei Rohstoffen [math]\displaystyle{ R_1,R_2,R_3 }[/math] zunächst die beiden Zwischenprodukte [math]\displaystyle{ Z_1,Z_2 }[/math], aus denen anschließend die drei Endprodukte [math]\displaystyle{ E_1,E_2,E_3 }[/math] gefertigt werden.

Die Pfeile im Gozintographen geben an, wie viele Mengeneinheiten eines Materials zur Produktion einer Mengeneinheit des entstehenden Produkts benötigt werden.

Die vollständigen Mengen seien wie folgt definiert:

	Z1	Z2
R1	3	1
R2	4	2
R3	0	3

	E1	E2	E3
Z1	2	1	0
Z2	1	3	2

Aus diesen Tabellen ergibt sich die Gozintomatrix Rohstoffe → Endprodukte durch Matrixmultiplikation:

[math]\displaystyle{ RZ= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ ZE= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ RE=RZ \cdot ZE = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

Berechnung:

[math]\displaystyle{ RE= \begin{pmatrix} 7 & 6 & 2 \\ 10 & 10 & 4 \\ 3 & 9 & 6 \end{pmatrix} }[/math]

Die Matrix zeigt, wie viele Mengeneinheiten der Rohstoffe [math]\displaystyle{ R_1,R_2,R_3 }[/math] jeweils zur Herstellung einer Einheit der Endprodukte [math]\displaystyle{ E_1,E_2,E_3 }[/math] notwendig sind.