Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

(4 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)

Zeile 80:

== Multiplikation ==

Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.

== Rang ==

Der '''Rang''' einer [[Matrix]] ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.

Formal ist der Rang einer Matrix <math>A</math> die maximale Anzahl [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] Zeilen oder Spalten von <math>A</math>. Man bezeichnet ihn mit

<math>\operatorname{rang}(A)</math>.

Der Rang kann mithilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] bestimmt werden:

* Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.

* Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.

==Inverse==

Die '''Inverse einer Matrix''' \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:

\[

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n,

\]

wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann mit dem [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Bestimmung_der_Inversen|Gauß-Jordan-Algorithmus]] berechnet werden.

== Beispiele ==

@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 == Multiplikation ==
 Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.
+== Rang ==
+Der '''Rang''' einer [[Matrix]] ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.
+Formal ist der Rang einer Matrix <math>A</math> die maximale Anzahl [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] Zeilen oder Spalten von <math>A</math>. Man bezeichnet ihn mit
+<math>\operatorname{rang}(A)</math>.
+Der Rang kann mithilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] bestimmt werden:
+* Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.
+* Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
+==Inverse==
+Die '''Inverse einer Matrix''' \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:
+\[
+A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n,
+\]
+wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann mit dem [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Bestimmung_der_Inversen|Gauß-Jordan-Algorithmus]] berechnet werden.
 == Beispiele ==