Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.

Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen werden häufig mit [[Gozintograph]]en graphisch dargestellt.

== Definition ==

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== Multiplikation ==

Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.

== Rang ==

Der '''Rang''' einer [[Matrix]] ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.

Formal ist der Rang einer Matrix <math>A</math> die maximale Anzahl [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] Zeilen oder Spalten von <math>A</math>. Man bezeichnet ihn mit

<math>\operatorname{rang}(A)</math>.

Der Rang kann mithilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] bestimmt werden:

* Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.

* Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.

==Inverse==

Die '''Inverse einer Matrix''' \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:

\[

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n,

\]

wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann mit dem [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Bestimmung_der_Inversen|Gauß-Jordan-Algorithmus]] berechnet werden.

== Beispiele ==

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-Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.
+Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen werden häufig mit [[Gozintograph]]en graphisch dargestellt.
 == Definition ==
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 == Multiplikation ==
 Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.
+== Rang ==
+Der '''Rang''' einer [[Matrix]] ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.
+Formal ist der Rang einer Matrix <math>A</math> die maximale Anzahl [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] Zeilen oder Spalten von <math>A</math>. Man bezeichnet ihn mit
+<math>\operatorname{rang}(A)</math>.
+Der Rang kann mithilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] bestimmt werden:
+* Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.
+* Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
+==Inverse==
+Die '''Inverse einer Matrix''' \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:
+\[
+A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n,
+\]
+wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann mit dem [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Bestimmung_der_Inversen|Gauß-Jordan-Algorithmus]] berechnet werden.
 == Beispiele ==