FLBK-Wiki

Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

← Zum vorherigen Versionsunterschied
Flbkwikiadmin (Diskussion | Beiträge)
Bürokraten, Oberflächenadministratoren, Administratoren
2.077 Bearbeitungen
VisuellWikitext
 
(15 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt.
Eine '''Matrix''' ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen werden häufig mit [[Gozintograph]]en graphisch dargestellt.


== Definition ==
== Definition ==
Zeile 50: Zeile 50:
Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann gilt
:<math>
:<math>
A + B = \begin{pmatrix}
A - B = \begin{pmatrix}
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\
Zeile 80: Zeile 80:
== Multiplikation ==
== Multiplikation ==
Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.
Es seien A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix, dann gilt wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird. Das Ergebnis ist eine \(m \times n\)-Matrix.
== Rang ==
Der '''Rang''' einer [[Matrix]] ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.
Formal ist der Rang einer Matrix <math>A</math> die maximale Anzahl [[Lineare_Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] Zeilen oder Spalten von <math>A</math>. Man bezeichnet ihn mit
<math>\operatorname{rang}(A)</math>.
Der Rang kann mithilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] bestimmt werden:
* Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.
* Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
==Inverse==
Die '''Inverse einer Matrix''' \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:
\[
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n,
\]
wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann mit dem [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Bestimmung_der_Inversen|Gauß-Jordan-Algorithmus]] berechnet werden.


== Beispiele ==
== Beispiele ==
Zeile 178: Zeile 195:
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>
===Addition und Subtraktion von Matrizen===
Zwei Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre entsprechenden Elemente addiert bzw. subtrahiert. Die Matrizen müssen die gleiche Dimension haben.
Gegeben seien
<math>
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
</math>
dann wird die Summe durch
<math>
A + B = \begin{pmatrix}
1+5 & 3+2 \\
2+1 & 4+3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 5 \\
3 & 7
\end{pmatrix}
</math>
berechnet.
Gegeben seien
<math>
C = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}, \quad
D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}
</math>
dann wird die Differenz von C und D durch
<math>
C - D = \begin{pmatrix}
7-3 & 4-1 \\
6-2 & 2-5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 3 \\
4 & -3
\end{pmatrix}
</math>
berechnet.


=== Skalarmultiplikation durchführen ===
=== Skalarmultiplikation durchführen ===
Zeile 203: Zeile 257:
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>
===Das Skalarprodukt berechnen===
Der Zeilenvektor a und der Spaltenvektor b seien wie folgt gegeben:
<math>
a = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad
b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
</math>
Das Skalarprodukt wird dann durch
<math>
a \cdot b = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) = 8 - 2 + 3 = 9
</math>
berechnet.
===Multiplikation von Matrizen===
Gegeben seien die Matrizen
<math>
E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad
F = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
</math>,
dann werden diese durch
<math>
E \cdot F = \begin{pmatrix}
1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\
3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix}
</math>
miteinander multipliziert. Die Multiplikation ist nicht kommutativ, d. h. in der Regel gilt <math>E \cdot F \neq F \cdot E </math>.
<math>
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2
</math>
<math>
\lambda \cdot (G + H) = 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right)
</math>
<math>
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}
</math>
===Skalarmultiplikation, Addition sowie Multiplikation kombinieren===
Das folgende Beispiel zeigt, wie die Rechenoperationen kombiniert werden können.
<math>
G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad
H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad
J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad
\lambda = 2, \quad \mu = 3
</math>
Berechnung von: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J)</math>
<math>
= 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \right)
</math>
Zuerst Matrixmultiplikation:
<math>
H \cdot J = \begin{pmatrix}
1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot1 + 4\cdot2 \\
2\cdot3 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 1\cdot2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 + 8 & 1 + 8 \\
6 + 2 & 2 + 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
11 & 9 \\
8 & 4
\end{pmatrix}
</math>
Dann Skalarmultiplikationen:
<math>
2 \cdot G = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad
3 \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix}
</math>
Schließlich Addition:
<math>
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4+33 & 2+27 \\
0+24 & 6+12
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
37 & 29 \\
24 & 18
\end{pmatrix}
</math>
Endergebnis: <math>\lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix}</math>


[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
Abgerufen von „https://wiki.flbk-hamm.de/Matrix“