Gaußsches Eliminationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix|Matrizen]] verknüpft. | Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' oder '''Gauß-Algorithmus''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix|Matrizen]] verknüpft. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform | Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform. Wird die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|reduzierte Zeilenstufenform]] gebracht, sprechen wir vom Gauß-Jordan-Algorithmus. | ||
Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | ||
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== Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix == | == Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix == | ||
Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt: | Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt: | ||
* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>. | * <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>. | ||
* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A|I)</math> auf <math>(I|A^{-1})</math> umformt. | * Die [[Matrix#Inverse|Inverse]] <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A|I)</math> auf <math>(I|A^{-1})</math> umformt. | ||
== Lineare Matrizengleichungen == | == Lineare Matrizengleichungen == | ||
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Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1 und erhalten die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|Zeilenstufenform]]: | Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1 und erhalten die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|reduzierter Zeilenstufenform]]: | ||
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