Gaußsches Eliminationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[ | Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' oder '''Gauß-Algorithmus''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix|Matrizen]] verknüpft. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> eines [[ | Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform. Wird die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|reduzierte Zeilenstufenform]] gebracht, sprechen wir vom Gauß-Jordan-Algorithmus. | ||
Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | ||
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* Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. | * Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. | ||
Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge des [[ | Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge des [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] nicht. | ||
== Ziel des Verfahrens == | == Ziel des Verfahrens == | ||
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== Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix == | == Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix == | ||
Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt: | Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt: | ||
* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>. | * <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>. | ||
* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A|I)</math> auf <math>(I|A^{-1})</math> umformt. | * Die [[Matrix#Inverse|Inverse]] <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A|I)</math> auf <math>(I|A^{-1})</math> umformt. | ||
== Lineare Matrizengleichungen == | == Lineare Matrizengleichungen == | ||
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== Beispiele == | == Beispiele == | ||
=== Lösung eines [[ | === Lösung eines [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] === | ||
Gegeben sei das System | Gegeben sei das System | ||
:<math> | :<math> | ||
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</math> | </math> | ||
Die Matrizengleichung lautet | Die [[Lineares_Gleichungssystem#Definition|Matrizengleichung]] lautet | ||
:<math>\begin{pmatrix} | :<math>\begin{pmatrix} | ||
1 & 1 \\ | 1 & 1 \\ | ||
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\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet | Die [[Lineares_Gleichungssystem#Definition|erweiterte Koeffizientenmatrix]] lautet | ||
:<math> | :<math> | ||
\left( | \left( | ||
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\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
Wir teilen Zeile 1 durch 2: | Wir teilen Zeile 1 durch 2 und erhalten die folgende [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|Zeilenstufenform]]: | ||
:<math> | :<math> | ||
\left( | \left( | ||
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\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1: | Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1 und erhalten die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|reduzierter Zeilenstufenform]]: | ||
:<math> | :<math> | ||
\left( | \left( | ||
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=== Bestimmung der Inversen === | === Bestimmung der Inversen === | ||
Wir berechnen die Inverse <math>A^{-1}</math> zur Matrix | |||
<math> | :<math> | ||
A = \begin{pmatrix} | A = \begin{pmatrix} | ||
1 & 2 \\ | 1 & 2 \\ | ||
3 & 4 | 3 & 4 | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | |||
mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
1 & 2 & 1 & 0 \\ | |||
3 & 4 & 0 & 1 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir multiplizieren Zeile 2 mit der Zahl 3: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
3 & 6 & 3 & 0 \\ | |||
3 & 4 & 0 & 1 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
3 & 6 & 3 & 0 \\ | |||
0 & 2 & 3 & -1 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir dividieren Zeile 2 durch 2 und Zeile 1 durch 3: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
1 & 2 & 1 & 0 \\ | |||
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir subtrahieren 2 mal Zeile 2 von Zeile 1: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
1 & 0 & -2 & 1 \\ | |||
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | </math> | ||
Die Inverse zu Matrix <math>A</math> ist damit | |||
<math> | <math> | ||
A^{-1} = \begin{pmatrix} | A^{-1} = \begin{pmatrix} | ||