Gaußsches Eliminationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der Matrizen verknüpft. == Definition == Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der erweiterten Koeffiz…“ |
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Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix|Matrizen]] verknüpft. | Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' oder '''Gauß-Algorithmus''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]]. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix|Matrizen]] verknüpft. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A|b)</math> eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform | Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform. Wird die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|reduzierte Zeilenstufenform]] gebracht, sprechen wir vom Gauß-Jordan-Algorithmus. | ||
Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind: | ||
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* Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. | * Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. | ||
Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems nicht. | Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge des [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] nicht. | ||
== Ziel des Verfahrens == | == Ziel des Verfahrens == | ||
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== Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix == | == Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix == | ||
Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt: | Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt: | ||
* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>. | * <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>. | ||
* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A|I)</math> auf <math>(I|A^{-1})</math> umformt. | * Die [[Matrix#Inverse|Inverse]] <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A|I)</math> auf <math>(I|A^{-1})</math> umformt. | ||
== Lineare Matrizengleichungen == | == Lineare Matrizengleichungen == | ||
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== Beispiele == | == Beispiele == | ||
=== Lösung eines linearen Gleichungssystems === | === Lösung eines [[Lineares_Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] === | ||
Gegeben sei das System | Gegeben sei das System | ||
<math> | :<math> | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
x_1 + x_2 &= 5 \\ | x_1 + x_2 &= 5 \\ | ||
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</math> | </math> | ||
Die erweiterte | Die [[Lineares_Gleichungssystem#Definition|Matrizengleichung]] lautet | ||
<math> | :<math>\begin{pmatrix} | ||
1 & 1 \\ | |||
2 & 3 \\ | |||
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} | |||
x_1 \\ | |||
x_2 \\ | |||
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | |||
5 \\ | |||
13 \\ | |||
\end{pmatrix}</math> | |||
Die [[Lineares_Gleichungssystem#Definition|erweiterte Koeffizientenmatrix]] lautet | |||
:<math> | |||
\left( | \left( | ||
\begin{array}{cc|c} | \begin{array}{cc|c} | ||
1 & 1 & 5 \\ | 1 & 1 & 5 \\ | ||
2 & 3 & 13 | 2 & 3 & 13 | ||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir multiplizieren die erste Zeile mit 2 und erhalten: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|c} | |||
2 & 2 & 10 \\ | |||
2 & 3 & 13 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir subtrahieren Zeile 1 von Zeile 2: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|c} | |||
2 & 2 & 10 \\ | |||
0 & 1 & 3 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir teilen Zeile 1 durch 2 und erhalten die folgende [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|Zeilenstufenform]]: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|c} | |||
1 & 1 & 5 \\ | |||
0 & 1 & 3 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1 und erhalten die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform|reduzierter Zeilenstufenform]]: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|c} | |||
1 & 0 & 2 \\ | |||
0 & 1 & 3 | |||
\end{array} | \end{array} | ||
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
Nach Anwendung des Gauß-Verfahrens | Nach Anwendung des Gauß-Verfahrens können wir die Lösung direkt ablesen: <math>x_1 = 2</math>, <math>x_2 = 3</math> | ||
<math>x_1 = 2</math>, <math>x_2 = 3</math> | |||
=== Bestimmung der Inversen === | === Bestimmung der Inversen === | ||
Wir berechnen die Inverse <math>A^{-1}</math> zur Matrix | |||
<math> | :<math> | ||
A = \begin{pmatrix} | A = \begin{pmatrix} | ||
1 & 2 \\ | 1 & 2 \\ | ||
3 & 4 | 3 & 4 | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | |||
mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
1 & 2 & 1 & 0 \\ | |||
3 & 4 & 0 & 1 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir multiplizieren Zeile 2 mit der Zahl 3: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
3 & 6 & 3 & 0 \\ | |||
3 & 4 & 0 & 1 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
3 & 6 & 3 & 0 \\ | |||
0 & 2 & 3 & -1 | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir dividieren Zeile 2 durch 2 und Zeile 1 durch 3: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
1 & 2 & 1 & 0 \\ | |||
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Wir subtrahieren 2 mal Zeile 2 von Zeile 1: | |||
:<math> | |||
\left( | |||
\begin{array}{cc|cc} | |||
1 & 0 & -2 & 1 \\ | |||
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | </math> | ||
Die Inverse zu Matrix <math>A</math> ist damit | |||
<math> | <math> | ||
A^{-1} = \begin{pmatrix} | A^{-1} = \begin{pmatrix} | ||