Gozintograph: Unterschied zwischen den Versionen

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<div class="gozinto-wrap">
<div class="gozinto-wrap">
<svg id="gozinto_svg" viewBox="0 0 1180 420" preserveAspectRatio="xMinYMin meet">
<svg id="gozinto_svg_2" viewBox="0 0 1200 450" preserveAspectRatio="xMinYMin meet">
</svg>
</svg>
</div>
</div>
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<script>
<script>
(function(){
(function(){
   const svg = document.getElementById("gozinto_svg");
   const svg = document.getElementById("gozinto_svg_2");


   // leicht reduzierte Abstände
   // leicht reduzierte Abstände
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</math>  
</math>  


gegeben. Beispielsweise lässt sich aus der ersten Spalte ablesen, dass 2 Einzelteile von E1, 1 Einzelteil von E2 sowie 0 Einzelteile von E3 und E4 für die Herstellung eines Bauteils B1 benötigt werden.
gegeben. Beispielsweise lässt sich aus der ersten Spalte ablesen, dass 2 Einzelteile von E1, 1 Einzelteil von E2 sowie 0 Einzelteile von E3 und E4 für die Herstellung eines Bauteils B1 benötigt werden.
 
=== Produktion von Spielwaren aus Rohstoffen über Zwischenprodukte ===


===Produktion von Spielwaren mit Zwischenprodukten===
Ein Spielwarenhersteller produziert aus drei Rohstoffen \(R_1, R_2, R_3\) zunächst die beiden Zwischenprodukte \(Z_1, Z_2\), aus denen anschließend die drei Endprodukte \(E_1, E_2, E_3\) gefertigt werden.


Die Pfeile im Gozintographen geben an, wie viele Tonnen eines Materials zur Produktion von 1 Tonne des entstehenden Produkts benötigt werden. 
Beispiel: Für die Herstellung von 1 Tonne \(Z_1\) werden 3 Tonnen \(R_1\) und 4 Tonnen \(R_2\) benötigt.


<!-- GOZINTOGRAPH: Rohstoffe → Zwischenprodukte → Endprodukte -->
<html>
<html>
<head>
<style>
  <title>Gozintograph - Spielwarenhersteller</title>
   .gozinto-wrap {
   <style>
    width:95vw;
    .gozinto-wrap {
    height:60vw;
      width: 95vw;
    max-width:1200px;
      height: 50vw;
    max-height:650px;
      max-width: 1100px;
    border:0;
      max-height: 480px;
    margin:0;
      border: 0;
    padding:0;
      margin: 0;
  }
      padding: 0;
    }


    svg {
  svg {
      width: 100%;
    width:100%;
      height: 100%;
    height:100%;
      touch-action: none;
    touch-action:none;
      user-select: none;
    user-select:none;
      background: white;
    background:white;
    }
  }


    .node-rect {
  .node-rect {
      stroke-width: 2;
    fill:#3498db;
      cursor: grab;
    stroke:#1f4e78;
    }
    stroke-width:2;
    cursor:grab;
  }


    .rohstoff {
  .node-text, .count-text {
      fill: #aed6f1;
    font-family:sans-serif;
      stroke: #3498db;
    font-size:14px;
    }
    fill:#000;
    pointer-events:none;
  }


    .zwischenprodukt {
  .edge-line {
      fill: #f9e79f;
    stroke:#000;
      stroke: #f1c40f;
    stroke-width:2;
     }
     fill:none;
  }


    .endprodukt {
  .edge-arrow { fill:#000; }
      fill: #abebc6;
      stroke: #27ae60;
    }


    .node-text, .count-text {
  .count-circle {
      font-family: sans-serif;
    fill:#fff;
      font-size: 14px;
    stroke:#000;
      fill: #000;
    stroke-width:1.5;
      pointer-events: none;
  }
    }
</style>


    .edge-line {
<div class="gozinto-wrap">
      stroke: #000;
<svg id="gozinto_svg" viewBox="0 0 1180 600" preserveAspectRatio="xMinYMin meet">
      stroke-width: 2;
</svg>
      fill: none;
</div>
    }


    .edge-arrow {
<script>
      fill: #000;
(function(){
    }
  const svg = document.getElementById("gozinto_svg");


    .count-circle {
  const scale = 100;
      fill: #fff;
   const yOffset = 0;
      stroke: #000;
   const xOffsetGlobal = 120;
      stroke-width: 1.5;
    }
   </style>
</head>
<body>
  <h2>Produktionsprozess eines Spielwarenherstellers</h2>
  <p>Ein Spielwarenhersteller stellt in einem zweistufigen Produktionsprozess aus drei Rohstoffen R1, R2, R3 drei Endprodukte E1, E2, E3 her. Dabei werden zunächst Zwischenprodukte Z1, Z2 hergestellt, welche dann weiter zur Herstellung der Endprodukte verarbeitet werden.</p>
 
  <div class="gozinto-wrap">
    <svg id="gozinto_svg" viewBox="0 0 1180 420" preserveAspectRatio="xMinYMin meet">
    </svg>
   </div>


   <h3>Materialbedarfsmatrix</h3>
   function svgEl(name, attrs){
  <p>Die Materialbedarfsmatrix RZ (Rohstoffe zu Zwischenprodukten) ist gegeben durch:</p>
     const el = document.createElementNS("http://www.w3.org/2000/svg", name);
  <p>
     for(const k in (attrs||{})) el.setAttribute(k, attrs[k]);
     RZ =  
     return el;
    \(\begin{pmatrix}
  }
    3 & 2 \\
    4 & 1 \\
    0 & 2
    \end{pmatrix}\)
  </p>
 
  <p>Die Materialbedarfsmatrix ZE (Zwischenprodukte zu Endprodukten) ist gegeben durch:</p>
  <p>
     ZE =
    \(\begin{pmatrix}
    2 & 1 & 0 \\
    1 & 2 & 3
    \end{pmatrix}\)
  </p>
 
  <h3>Gesamtmaterialbedarf</h3>
  <p>Der Gesamtmaterialbedarf RE (Rohstoffe zu Endprodukten) ergibt sich aus der Matrixmultiplikation:</p>
  <p>
     RE = RZ × ZE =
    \(\begin{pmatrix}
    3 & 2 \\
    4 & 1 \\
    0 & 2
    \end{pmatrix}
    ×
    \begin{pmatrix}
    2 & 1 & 0 \\
    1 & 2 & 3
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    8 & 7 & 6 \\
    9 & 6 & 3 \\
    2 & 4 & 6
    \end{pmatrix}\)
  </p>
 
  <p><strong>Interpretation:</strong> Die Matrix RE zeigt den Gesamtbedarf an Rohstoffen für die Herstellung einer Tonne jedes Endprodukts. Beispielsweise werden für eine Tonne E1 insgesamt 8 Tonnen R1, 9 Tonnen R2 und 2 Tonnen R3 benötigt.</p>


   <script>
   function getSVGcoords(evt){
    (function(){
    const pt = svg.createSVGPoint();
      const svg = document.getElementById("gozinto_svg");
    pt.x = evt.clientX;
    pt.y = evt.clientY;
    return pt.matrixTransform(svg.getScreenCTM().inverse());
  }


      // leicht reduzierte Abstände
  function createNode(id, cx, cy, w, h, label){
      const scale = 100;
    cx += xOffsetGlobal/scale;
      const yOffset = 0;
      const xOffsetGlobal = 120;


      function svgEl(name, attrs){
    const g = svgEl("g", {"data-id":id});
        const el = document.createElementNS("http://www.w3.org/2000/svg", name);
    const rect = svgEl("rect", {
        for(const k in (attrs||{})) el.setAttribute(k, attrs[k]);
      class:"node-rect",
        return el;
      x:(cx-w/2)*scale, y:(cy-h/2)*scale + yOffset,
      }
      width:w*scale, height:h*scale, rx:6, ry:6
    });


      function getSVGcoords(evt){
    const text = svgEl("text", {
        const pt = svg.createSVGPoint();
      class:"node-text",
        pt.x = evt.clientX;
      x:cx*scale, y:cy*scale+yOffset,
        pt.y = evt.clientY;
      "text-anchor":"middle",
        return pt.matrixTransform(svg.getScreenCTM().inverse());
      "dominant-baseline":"middle"
      }
    });
    text.textContent = label;


      // ----------- NODE -----------
    g.appendChild(rect);
      function createNode(id, cx, cy, w, h, label, type){
    g.appendChild(text);
        cx += xOffsetGlobal/scale;
    svg.appendChild(g);


        const g = svgEl("g", {"data-id":id});
    const node = {id,cx,cy,w,h,rect,text,g};
        const rect = svgEl("rect", {
          class:"node-rect " + type,
          x:(cx-w/2)*scale, y:(cy-h/2)*scale + yOffset,
          width:w*scale, height:h*scale, rx:6, ry:6
        });


        const text = svgEl("text", {
    let dragging=false, start={};
          class:"node-text",
          x:cx*scale, y:cy*scale+yOffset,
          "text-anchor":"middle",
          "dominant-baseline":"middle"
        });
        text.textContent = label;


        g.appendChild(rect);
    rect.addEventListener("pointerdown", e=>{
        g.appendChild(text);
      rect.setPointerCapture(e.pointerId);
        svg.appendChild(g);
      dragging=true;
      const p = getSVGcoords(e);
      start = {px:p.x, py:p.y, cx:node.cx, cy:node.cy};
    });


        const node = {id,cx,cy,w,h,rect,text,g};
    rect.addEventListener("pointermove", e=>{
      if(!dragging) return;
      const p = getSVGcoords(e);
      node.cx = start.cx + (p.x - start.px)/scale;
      node.cy = start.cy + (p.y - start.py)/scale;
      updateNode(node);
      updateAllEdges();
    });


        // Draggen
    rect.addEventListener("pointerup", e=>{
        let dragging=false, start={};
      dragging=false;
      rect.releasePointerCapture(e.pointerId);
    });


        rect.addEventListener("pointerdown", e=>{
    return node;
          rect.setPointerCapture(e.pointerId);
  }
          dragging=true;
          const p = getSVGcoords(e);
          start = {px:p.x, py:p.y, cx:node.cx, cy:node.cy};
        });


        rect.addEventListener("pointermove", e=>{
  function updateNode(n){
          if(!dragging) return;
    n.rect.setAttribute("x",(n.cx-n.w/2)*scale);
          const p = getSVGcoords(e);
    n.rect.setAttribute("y",(n.cy-n.h/2)*scale+yOffset);
          node.cx = start.cx + (p.x - start.px)/scale;
    n.text.setAttribute("x",n.cx*scale);
          node.cy = start.cy + (p.y - start.py)/scale;
    n.text.setAttribute("y",n.cy*scale+yOffset);
          updateNode(node);
  }
          updateAllEdges();
        });


        rect.addEventListener("pointerup", e=>{
  function intersectRectBorder(node, tx, ty){
          dragging=false;
    const cx=node.cx, cy=node.cy, w2=node.w/2, h2=node.h/2;
          rect.releasePointerCapture(e.pointerId);
    const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
        });
    let pts=[];


        return node;
    if(Math.abs(dx)>1e-9){
      }
      let t1=(-w2)/dx; let y1=cy+t1*dy;
      if(t1>0 && y1>=cy-h2 && y1<=cy+h2) pts.push({x:cx-w2,y:y1,t:t1});
      let t2=(w2)/dx; let y2=cy+t2*dy;
      if(t2>0 && y2>=cy-h2 && y2<=cy+h2) pts.push({x:cx+w2,y:y2,t:t2});
    }
    if(Math.abs(dy)>1e-9){
      let t3=(-h2)/dy; let x3=cx+t3*dx;
      if(t3>0 && x3>=cx-w2 && x3<=cx+w2) pts.push({x:x3,y:cy-h2,t:t3});
      let t4=(h2)/dy; let x4=cx+t4*dx;
      if(t4>0 && x4>=cx-w2 && x4<=cx+w2) pts.push({x:x4,y:cy+h2,t:t4});
    }
    pts.sort((a,b)=>a.t-b.t);
    return pts[0] || {x:cx,y:cy};
  }


      function updateNode(n){
  function pointOnCircle(cx,cy,R,tx,ty){
        n.rect.setAttribute("x",(n.cx-n.w/2)*scale);
    const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
        n.rect.setAttribute("y",(n.cy-n.h/2)*scale+yOffset);
    const d=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
        n.text.setAttribute("x",n.cx*scale);
    if(d<1e-9) return {x:cx,y:cy};
        n.text.setAttribute("y",n.cy*scale+yOffset);
    return {x:cx+R*dx/d, y:cy+R*dy/d};
      }
  }


      // ------- Geometrie -------
  function makeArrowHead(x,y,ux,uy,size){
      function intersectRectBorder(node, tx, ty){
    let px=-uy, py=ux;
        const cx=node.cx, cy=node.cy, w2=node.w/2, h2=node.h/2;
    return `M ${x} ${y}
        const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
            L ${x-ux*size+px*size*0.5} ${y-uy*size+py*size*0.5}
        let pts=[];
            L ${x-ux*size-px*size*0.5} ${y-uy*size-py*size*0.5} Z`;
  }


        if(Math.abs(dx)>1e-9){
  const edges=[];
          let t1=(-w2)/dx; let y1=cy+t1*dy;
          if(t1>0 && y1>=cy-h2 && y1<=cy+h2) pts.push({x:cx-w2,y:y1,t:t1});
          let t2=(w2)/dx; let y2=cy+t2*dy;
          if(t2>0 && y2>=cy-h2 && y2<=cy+h2) pts.push({x:cx+w2,y:y2,t:t2});
        }
        if(Math.abs(dy)>1e-9){
          let t3=(-h2)/dy; let x3=cx+t3*dx;
          if(t3>0 && x3>=cx-w2 && x3<=cx+w2) pts.push({x:x3,y:cy-h2,t:t3});
          let t4=(h2)/dy; let x4=cx+t4*dx;
          if(t4>0 && x4>=cx-w2 && x4<=cx+w2) pts.push({x:x4,y:cy+h2,t:t4});
        }
        pts.sort((a,b)=>a.t-b.t);
        return pts[0] || {x:cx,y:cy};
      }


      function pointOnCircle(cx,cy,R,tx,ty){
  function makeConnection(fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset){
        const dx=tx-cx, dy=ty-cy;
    const g=svgEl("g",{});
        const d=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
    const lineA=svgEl("path",{class:"edge-line"});
        if(d<1e-9) return {x:cx,y:cy};
    const lineB=svgEl("path",{class:"edge-line"});
        return {x:cx+R*dx/d, y:cy+R*dy/d};
    const circle=svgEl("circle",{class:"count-circle"});
      }
    const text=svgEl("text",{class:"count-text"});
    const arrow=svgEl("path",{class:"edge-arrow"});


      function makeArrowHead(x,y,ux,uy,size){
    text.textContent=amount;
        let px=-uy, py=ux;
        return `M ${x} ${y}
                L ${x-ux*size+px*size*0.5} ${y-uy*size+py*size*0.5}
                L ${x-ux*size-px*size*0.5} ${y-uy*size-py*size*0.5} Z`;
      }


      const edges=[];
    g.appendChild(lineA);
    g.appendChild(lineB);
    g.appendChild(circle);
    g.appendChild(text);
    g.appendChild(arrow);
    svg.appendChild(g);


      function makeConnection(fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset){
    let e={fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset,circle,text,lineA,lineB,arrow};
        const g=svgEl("g",{});
    edges.push(e);
        const lineA=svgEl("path",{class:"edge-line"});
    updateEdge(e);
        const lineB=svgEl("path",{class:"edge-line"});
  }
        const circle=svgEl("circle",{class:"count-circle"});
        const text=svgEl("text",{class:"count-text"});
        const arrow=svgEl("path",{class:"edge-arrow"});


        text.textContent=amount;
  function updateEdge(e){
        g.appendChild(lineA);
    const cx=(e.fromNode.cx+e.toNode.cx)/2+(e.xOffset||0);
        g.appendChild(lineB);
    const cy=e.yMid;
        g.appendChild(circle);
    const R=0.14;
        g.appendChild(text);
        g.appendChild(arrow);
        svg.appendChild(g);


        let e={fromNode,toNode,amount,yMid,xOffset,circle,text,lineA,lineB,arrow};
    const pF=intersectRectBorder(e.fromNode,cx,cy);
        edges.push(e);
    const pT=intersectRectBorder(e.toNode,cx,cy);
        updateEdge(e);
      }


      function updateEdge(e){
    const pCircleIn=pointOnCircle(cx,cy,R,pF.x,pF.y);
        const cx=(e.fromNode.cx+e.toNode.cx)/2+(e.xOffset||0);
    const pCircleOut=pointOnCircle(cx,cy,R,pT.x,pT.y);
        const cy=e.yMid;
        const R=0.14;


        const pF=intersectRectBorder(e.fromNode,cx,cy);
    const px=p=>[p.x*scale, p.y*scale+yOffset];
        const pT=intersectRectBorder(e.toNode,cx,cy);
    const F=px(pF), Ci=px(pCircleIn), Co=px(pCircleOut), T=px(pT);


        const pCircleIn=pointOnCircle(cx,cy,R,pF.x,pF.y);
    e.lineA.setAttribute("d",`M ${F[0]} ${F[1]} L ${Ci[0]} ${Ci[1]}`);
        const pCircleOut=pointOnCircle(cx,cy,R,pT.x,pT.y);
    e.lineB.setAttribute("d",`M ${Co[0]} ${Co[1]} L ${T[0]} ${T[1]}`);


        const px=p=>[p.x*scale, p.y*scale+yOffset];
    e.circle.setAttribute("cx",cx*scale);
        const F=px(pF), Ci=px(pCircleIn), Co=px(pCircleOut), T=px(pT);
    e.circle.setAttribute("cy",cy*scale+yOffset);
    e.circle.setAttribute("r",R*scale);


        e.lineA.setAttribute("d",`M ${F[0]} ${F[1]} L ${Ci[0]} ${Ci[1]}`);
    e.text.setAttribute('x', cx*scale-5);
        e.lineB.setAttribute("d",`M ${Co[0]} ${Co[1]} L ${T[0]} ${T[1]}`);
    e.text.setAttribute('y', cy*scale + yOffset+5);


        e.circle.setAttribute("cx",cx*scale);
    let ux=T[0]-Co[0], uy=T[1]-Co[1];
        e.circle.setAttribute("cy",cy*scale+yOffset);
    let L=Math.sqrt(ux*ux+uy*uy); if(L<1e-6) L=1;
        e.circle.setAttribute("r",R*scale);
    ux/=L; uy/=L;


        e.text.setAttribute('x', cx*scale-5);
    e.arrow.setAttribute("d",makeArrowHead(T[0],T[1],ux,uy,10));
        e.text.setAttribute('y', cy*scale + yOffset+5);
  }


        let ux=T[0]-Co[0], uy=T[1]-Co[1];
  function updateAllEdges(){ edges.forEach(updateEdge); }
        let L=Math.sqrt(ux*ux+uy*uy); if(L<1e-6) L=1;
        ux/=L; uy/=L;


        e.arrow.setAttribute("d",makeArrowHead(T[0],T[1],ux,uy,10));
  // -----------------------------------------------------
      }
  // NODES
  // -----------------------------------------------------


      function updateAllEdges(){ edges.forEach(updateEdge); }
  const nodes={};


      // ------------ Nodes ------------
  // Rohstoffe (oben)
      const nodes={};
  nodes.R1=createNode("R1",0,0.8,1.0,0.5,"R1");
  nodes.R2=createNode("R2",2.5,0.8,1.0,0.5,"R2");
  nodes.R3=createNode("R3",5.0,0.8,1.0,0.5,"R3");


      // Rohstoffe oben
  // Zwischenprodukte (Mitte)
      nodes.R1=createNode("R1",1.5,0.5,1.0,0.5,"R1", "rohstoff");
  nodes.Z1=createNode("Z1",1.2,3.3,1.0,0.5,"Z1");
      nodes.R2=createNode("R2",4.5,0.5,1.0,0.5,"R2", "rohstoff");
  nodes.Z2=createNode("Z2",3.0,3.3,1.0,0.5,"Z2");
      nodes.R3=createNode("R3",7.5,0.5,1.0,0.5,"R3", "rohstoff");


      // Zwischenprodukte in der Mitte
  // Endprodukte (unten)
      nodes.Z1=createNode("Z1",3.0,3.0,1.0,0.5,"Z1", "zwischenprodukt");
  nodes.E1=createNode("E1",0.5,5.8,1.0,0.5,"E1");
      nodes.Z2=createNode("Z2",6.0,3.0,1.0,0.5,"Z2", "zwischenprodukt");
  nodes.E2=createNode("E2",2.5,5.8,1.0,0.5,"E2");
  nodes.E3=createNode("E3",4.5,5.8,1.0,0.5,"E3");


      // Endprodukte unten
  // -----------------------------------------------------
      nodes.E1=createNode("E1",2.0,5.5,1.0,0.5,"E1", "endprodukt");
  // VERBINDUNGEN
      nodes.E2=createNode("E2",5.0,5.5,1.0,0.5,"E2", "endprodukt");
  // gemäß Tabellen:
      nodes.E3=createNode("E3",8.0,5.5,1.0,0.5,"E3", "endprodukt");
  // Rohstoffe → Zwischenprodukte
  // R1→Z1: 3  | R1→Z2: 1
  // R2→Z1: 4  | R2→Z2: 2
  // R3→Z1: 0  | R3→Z2: 3
  // Zwischenprodukte → Endprodukte
  // Z1: (E1=2, E2=1, E3=0)
  // Z2: (E1=1, E2=3, E3=2)
  // -----------------------------------------------------


      // ------------ Verbindungen ------------
  // R1
      // Rohstoffe zu Zwischenprodukten
  makeConnection(nodes.R1,nodes.Z1,"3",1.8,-0.3);
      makeConnection(nodes.R1,nodes.Z1,"3",1.7,-0.3);
  makeConnection(nodes.R1,nodes.Z2,"1",1.8, 0.4);
      makeConnection(nodes.R2,nodes.Z1,"4",1.7,0.0);
      makeConnection(nodes.R3,nodes.Z1,"0",1.7,0.3);


      makeConnection(nodes.R1,nodes.Z2,"2",1.7,-0.3);
  // R2
      makeConnection(nodes.R2,nodes.Z2,"1",1.7,0.0);
  makeConnection(nodes.R2,nodes.Z1,"4",1.8,-0.2);
      makeConnection(nodes.R3,nodes.Z2,"2",1.7,0.3);
  makeConnection(nodes.R2,nodes.Z2,"2",1.8, 0.2);


      // Zwischenprodukte zu Endprodukten
  // R3
      makeConnection(nodes.Z1,nodes.E1,"2",4.2,-0.3);
  makeConnection(nodes.R3,nodes.Z2,"3",1.8, 0.0);
      makeConnection(nodes.Z2,nodes.E1,"1",4.2,0.3);


      makeConnection(nodes.Z1,nodes.E2,"1",4.2,-0.3);
  // Z1 → Endprodukte
      makeConnection(nodes.Z2,nodes.E2,"2",4.2,0.3);
  makeConnection(nodes.Z1,nodes.E1,"2",4.6,-0.2);
  makeConnection(nodes.Z1,nodes.E2,"1",4.6, 0.2);


      makeConnection(nodes.Z1,nodes.E3,"0",4.2,-0.3);
  // Z2 → Endprodukte
      makeConnection(nodes.Z2,nodes.E3,"3",4.2,0.3);
  makeConnection(nodes.Z2,nodes.E1,"1",4.6,-0.3);
  makeConnection(nodes.Z2,nodes.E2,"3",4.6, 0.0);
  makeConnection(nodes.Z2,nodes.E3,"2",4.6, 0.3);
 
  updateAllEdges();
})();
</script>


      updateAllEdges();
    })();
  </script>
</body>
</html>
</html>
Die vollständigen Mengen seien wie folgt definiert:
{| class="wikitable"
!              !! Z1 !! Z2
|-
| '''R1'''    || 3 || 1
|-
| '''R2'''    || 4 || 2
|-
| '''R3'''    || 0 || 3
|}
{| class="wikitable"
!              !! E1 !! E2 !! E3
|-
| '''Z1'''    || 2 || 1 || 0
|-
| '''Z2'''    || 1 || 3 || 2
|}
Aus diesen Tabellen ergibt sich die **Gozintomatrix Rohstoffe → Endprodukte**, indem die Matrizen miteinander multipliziert werden:
:<math>
RZ = \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
4 & 2 \\
0 & 3
\end{pmatrix},
\qquad
ZE = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
RE = RZ \cdot ZE
    = \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
4 & 2 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
</math>
Berechnung:
:<math>
RE =
\begin{pmatrix}
3\cdot2 + 1\cdot1  & 3\cdot1 + 1\cdot3 & 3\cdot0 + 1\cdot2 \\
4\cdot2 + 2\cdot1  & 4\cdot1 + 2\cdot3 & 4\cdot0 + 2\cdot2 \\
0\cdot2 + 3\cdot1  & 0\cdot1 + 3\cdot3 & 0\cdot0 + 3\cdot2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 & 6 & 2 \\
10 & 10 & 4 \\
3 & 9 & 6
\end{pmatrix}
</math>
Die Matrix zeigt, wie viele Tonnen der Rohstoffe \(R_1, R_2, R_3\) jeweils zur Herstellung von 1 Tonne der Endprodukte \(E_1, E_2, E_3\) notwendig sind. 
Beispielsweise bedeutet die erste Spalte:
Für 1 Tonne \(E_1\) werden benötigt:
* 7 Tonnen \(R_1\) 
* 10 Tonnen \(R_2\) 
* 3 Tonnen \(R_3\)
Dies ergibt sich daraus, dass die Zwischenprodukte Z1 und Z2 selbst wiederum aus Rohstoffen bestehen.
[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Aktuelle Version vom 17. November 2025, 12:19 Uhr

Ein Gozintograph (von engl. *goes into* = „geht hinein“) ist ein gerichteter Graph, der die Zerlegung eines Endprodukts in seine Einzelteile oder Komponenten beschreibt. Jede Kante stellt dabei eine „Gozinto“-Beziehung dar: Sie zeigt von einer Komponente (Teil) auf das Produkt, in das sie eingeht. Der Gozintograph ist ein zentrales Hilfsmittel in der Produktionsplanung und Stücklistenverwaltung.

Definition

Ein Gozintograph ist ein gerichteter, azyklischer Graph \( G = (V, E) \), wobei:

  • \( V \) die Menge der Knoten darstellt (Produkte oder Teile),
  • \( E \subseteq V \times V \) die gerichteten Kanten darstellt, welche „geht-in“-Beziehungen symbolisieren.

Eine Kante \( (v_i, v_j, a_{ij}) \) mit der Beschriftung \( a_{ij} \) zeigt an, dass zur Herstellung eines Teils \( v_j \) genau \( a_{ij} \) Einheiten von Teil \( v_i \) benötigt werden.

Zusammenhang zu Matrizen

Die Informationen eines Gozintographen lassen sich in einer sogenannten Gozintomatrix darstellen. Diese ist eine Matrix \( A = (a_{ij}) \), bei der das Element \( a_{ij} \) die Anzahl der Einheiten von Komponente \( i \) angibt, die für die Herstellung von Produkt \( j \) benötigt wird. In der Produktionsplanung kann die benötigte Gesamtmenge aller Einzelteile über die Gleichung

\[ \mathbf{x} = (I - A)^{-1} \mathbf{y} \]

bestimmt werden, wobei \( \mathbf{y} \) den Vektor der Endprodukte und \( \mathbf{x} \) den Vektor der benötigten Teilemengen beschreibt.

Beispiele

Produktion eines Produkts aus Einzelteilen

Im folgenden Beispiel werden fünf Bauteile \( B_1, B_2, B_3, B_4, B_5 \) aus vier Einzelteilen \( E_1, E_2, E_3, E_4 \) gefertigt. Die Pfeile zeigen, welche Einzelteile in welches Bauteil eingehen. Die Zahlen an den Pfeilen geben die Stückzahl an.

Die Gozintomatrix zum oberen Gozintographen kann dann aus der Tabelle

B1 B2 B3 B4 B5
E1 2 2 1 1
E2 1 1 1 0
E3 0 0 1 0
E3 0 0 0 2

abgeleitet werden und ist dann durch

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

gegeben. Beispielsweise lässt sich aus der ersten Spalte ablesen, dass 2 Einzelteile von E1, 1 Einzelteil von E2 sowie 0 Einzelteile von E3 und E4 für die Herstellung eines Bauteils B1 benötigt werden.

Produktion von Spielwaren aus Rohstoffen über Zwischenprodukte

Ein Spielwarenhersteller produziert aus drei Rohstoffen \(R_1, R_2, R_3\) zunächst die beiden Zwischenprodukte \(Z_1, Z_2\), aus denen anschließend die drei Endprodukte \(E_1, E_2, E_3\) gefertigt werden.

Die Pfeile im Gozintographen geben an, wie viele Tonnen eines Materials zur Produktion von 1 Tonne des entstehenden Produkts benötigt werden. Beispiel: Für die Herstellung von 1 Tonne \(Z_1\) werden 3 Tonnen \(R_1\) und 4 Tonnen \(R_2\) benötigt.


Die vollständigen Mengen seien wie folgt definiert:

Z1 Z2
R1 3 1
R2 4 2
R3 0 3
E1 E2 E3
Z1 2 1 0
Z2 1 3 2

Aus diesen Tabellen ergibt sich die **Gozintomatrix Rohstoffe → Endprodukte**, indem die Matrizen miteinander multipliziert werden:

[math]\displaystyle{ RZ = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad ZE = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ RE = RZ \cdot ZE = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

Berechnung:

[math]\displaystyle{ RE = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 1\cdot1 & 3\cdot1 + 1\cdot3 & 3\cdot0 + 1\cdot2 \\ 4\cdot2 + 2\cdot1 & 4\cdot1 + 2\cdot3 & 4\cdot0 + 2\cdot2 \\ 0\cdot2 + 3\cdot1 & 0\cdot1 + 3\cdot3 & 0\cdot0 + 3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 6 & 2 \\ 10 & 10 & 4 \\ 3 & 9 & 6 \end{pmatrix} }[/math]

Die Matrix zeigt, wie viele Tonnen der Rohstoffe \(R_1, R_2, R_3\) jeweils zur Herstellung von 1 Tonne der Endprodukte \(E_1, E_2, E_3\) notwendig sind. Beispielsweise bedeutet die erste Spalte:

Für 1 Tonne \(E_1\) werden benötigt:

  • 7 Tonnen \(R_1\)
  • 10 Tonnen \(R_2\)
  • 3 Tonnen \(R_3\)

Dies ergibt sich daraus, dass die Zwischenprodukte Z1 und Z2 selbst wiederum aus Rohstoffen bestehen.

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