Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.

==Null- und Gegenhypothese==

Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.

* Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.

==Definition==

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.

* Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.

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Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].

* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.

* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.

* Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.

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Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.

==Beispiele==

== Beispiele ==

===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===

=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen ===

Es wird eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen ~~aus der Produktion~~ gezogen. Unter der Nullhypothese ~~wird von einer~~ Fehlerquote <math>p_0=0,02</math> ~~ausgegangen~~. Es ~~wird mit~~ einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (''einseitiger Test nach oben'').

~~Es ergibt sich für die Zufallsvariable <math>X</math>, die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt~~:

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

~~:<math>X \sim B(50, 0,02)</math>~~

~~Wird in der Stichprobe~~ <math>~~X=3~~</math> ~~beobachtet, gilt:~~

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>~~P(X~~ \~~ge 3) = 1 - P~~(X ~~\le 2~~) = ~~1 -~~ \~~sum_{x~~=~~0}^2~~ \~~binom{50}{x}~~ 0,~~02^x (0,98)^{50-x} \approx 0,047~~</math>

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.

Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.

~~Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im~~ '''~~Verwerfungsbereich~~'''~~. Die Nullhypothese wird verworfen.~~

'''2. Beobachtung:'''

~~===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===~~

In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.

~~Eine kleinere~~ Stichprobe ~~umfasst~~ <math>n=20</math> Teile. ~~Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote <math>p_0=0,05</math>. Es wird mit einem Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> getestet.~~

~~Es werden <math>X=2</math> fehlerhafte Teile gezählt~~. ~~Dann gilt~~:

'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''

~~:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{20} + \binom{20}{1} 0,05^1 (0,95)^{19} \right] \approx 0,264</math>~~

~~Da diese~~ Wahrscheinlichkeit ~~größer als~~ <math>\~~alpha~~=~~0,05~~</math> ~~ist, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''. Die Nullhypothese wird nicht verworfen.~~

Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:

:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>

~~===Anwendungen===~~

Berechne <math>P(X \le 1)</math>:

* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

* Risikoabschätzung in Versicherungen

* Analyse von Produktionsprozessen

* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>

Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>

Damit:

:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.

'''4. Entscheidung:'''

Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.

Die Nullhypothese wird ''nicht verworfen''.

Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.

=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen ===

Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.

'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''

Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist

:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.

Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.

'''2. Beobachtung:'''

In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.

'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:

:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>

Berechne <math>P(X \le 2)</math>:

:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>

Dann:

:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>

'''4. Entscheidung:'''

Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.

Die Nullhypothese wird ''verworfen'': Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.

=== Anwendungen ===

Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

Risikoabschätzung in Versicherungen

Analyse von Produktionsprozessen

Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
+Ein '''Signifikanztest''' ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine [[Zufallsvariable]] auf Grundlage einer [[Häufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] beibehalten oder verworfen werden sollte.
 ==Null- und Gegenhypothese==
 Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:
-* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
+* Die '''Nullhypothese''' <math>H_0</math>: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die [[Zufallsvariable]] und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
 * Die '''Gegenhypothese''' <math>H_1</math>: Sie stellt die Alternative zu <math>H_0</math> dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass <math>H_0</math> nicht zutrifft.
 ==Definition==
-Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
+Ein '''Signifikanztest''' überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer [[Zufallsvariable]], ob die Nullhypothese <math>H_0</math> auf einem vorgegebenen '''Signifikanzniveau''' <math>\alpha</math> verworfen wird.
 * Wird <math>H_0</math> verworfen, spricht man von einem '''signifikanten Ergebnis'''.
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 Die Zufallsvariable <math>X</math> folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer [[Binomialverteilung]].
+* Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem '''rechtsseitigen Signifikanztest'''.
+* Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem '''linksseitigen Signifikanztest'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> nicht verworfen wird, heißt '''Annahmebereich'''.
 * Der Bereich, in dem <math>H_0</math> verworfen wird, heißt '''Verwerfungsbereich'''.
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 Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit <math>\beta</math> bezeichnet.
-==Beispiele==
+== Beispiele ==
-===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===
+=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen ===
-Es wird eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen aus der Produktion gezogen. Unter der Nullhypothese wird von einer Fehlerquote <math>p_0=0,02</math> ausgegangen. Es wird mit einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (''einseitiger Test nach oben'').
-Es ergibt sich für die Zufallsvariable <math>X</math>, die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt:
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-:<math>X \sim B(50, 0,02)</math>
-Wird in der Stichprobe <math>X=3</math> beobachtet, gilt:
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{x=0}^2 \binom{50}{x} 0,02^x (0,98)^{50-x} \approx 0,047</math>
+:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
+Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.
-Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''. Die Nullhypothese wird verworfen.
+'''2. Beobachtung:'''
-===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===
+In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
-Eine kleinere Stichprobe umfasst <math>n=20</math> Teile. Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote <math>p_0=0,05</math>. Es wird mit einem Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> getestet.
-Es werden <math>X=2</math> fehlerhafte Teile gezählt. Dann gilt:
+'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{20} + \binom{20}{1} 0,05^1 (0,95)^{19} \right] \approx 0,264</math>
-Da diese Wahrscheinlichkeit größer als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''. Die Nullhypothese wird nicht verworfen.
+Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
-===Anwendungen===
+Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
-* Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
-* Risikoabschätzung in Versicherungen
-* Analyse von Produktionsprozessen
-* Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
-[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
+Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
+Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
+Damit:
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
+'''4. Entscheidung:'''
+Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
+Die Nullhypothese wird ''nicht verworfen''.
+Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen ===
+Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
+Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.
+'''2. Beobachtung:'''
+In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
+Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
+Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
+:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
+Dann:
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>
+'''4. Entscheidung:'''
+Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
+Die Nullhypothese wird ''verworfen'': Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
+=== Anwendungen ===
+Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
+Risikoabschätzung in Versicherungen
+Analyse von Produktionsprozessen
+Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
+[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]