Zinseszinsrechnung - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 09:20 Uhr

2024-07-21T09:20:28Z

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	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 08:55 Uhr

2024-07-21T08:55:01Z

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	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

Flbkwikiadmin am 16. Juli 2024 um 13:59 Uhr

2024-07-16T13:59:10Z

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	Bei der Zinseszinsrechnung wird ein ~~Kapital~~ (Geldbetrag) über einen ~~Zeitraum angelegt und [[Zins\|verzinst]]~~. ~~Die~~ [[Zins\|Zinsen]] ~~werden in~~ der Regel ~~jährlich ausgezahlt~~ und ~~wieder~~ verzinst.		Bei der Zinseszinsrechnung wird ein Anfangskapital (Geldbetrag) von einem Gläubiger über eine Laufzeit (Zeitraum) an einen Schuldner verliehen. Der Schuldner zahlt als Gegenleistung jährlich [[Zins\|Zinsen]] an den Gläubiger. In der Regel werden die Zinsen dem Schuldner überlassen und in den darauffolgenden Jahren mit verzinst. Das gesamte Kapital, welches der Schuldner am Ende der Laufzeit zurückzahlen muss, heißt Endkapital.

	==~~Beispiel~~==		==Zinseszinsformel==
	[[~~Datei:ZinseszinsrechnungZahlungsreihe.png\|mini\|20000 € werden für 5,5 % pro Jahr für 10 Jahre angelegt~~]]		Wird ein '''Anfangskapital''' <math>K(0) \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> mit einem [[Zinssatz]] von <math>p</math> mit <math>0 \leq p \leq 1</math> und <math>p\in \mathbb{R}</math> verzinst, so erhält man nach einer '''Laufzeit''' von <math>n \in \mathbb{N}</math> Jahren das '''Endkapital''' <math>K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot\left(1+p\right)^n=K\left(0\right)\cdot q^n</math>. Diese Formel nennen wir '''Zinseszinsformel'''.
	~~Wird ein Geldbetrag~~ von ~~20000 € bei einem Zinssatz~~ von ~~5,5% pro Jahr für genau 10 Jahre angelegt, ergibt sich die rechts abgebildete Rechnung~~.		Wir nennen <math>q=1+p</math> auch '''Aufzinsungsfaktor'''.

	~~Wir haben also zu Beginn einen Betrag von~~ <~~math~~>~~K(0)=20000~~<~~/math>€ und legen dieses Geld für <math>5,5\%~~=~~0,055</math> pro Jahr an. Nach einem Jahr erhalten wir <math>20000 \cdot 0,055~~=~~1100</math>€ Zinsen ausgezahlt~~. ~~Nach diesem Jahr besitzen wir insgesamt einen Geldbetrag von <math> 20000+1100~~=~~21100<~~/~~math>€. Anschließend werden die <math>21100<~~/~~math>€ verzinst, d~~. h. ~~die Zinsen über <math>1100<~~/~~math>€ werden mit verzinst, daher sprechen wir von Zinseszinsrechnung. Nach zwei Jahren besitzen wir einen Geldbetrag von <math>21100+21100 \cdot~~ 0~~,055~~= ~~22260,5</math~~>~~€. Wir besitzen also nach 10 Jahren <math>K(10)\approx34162,89~~</~~math~~>~~€. Dieser Wert lässt sich auch direkt berechnen: <math>K\left(10\right)=20.000\cdot{1,055}^{10}\approx34162,89~~</~~math~~> ~~Das untere Video veranschaulicht eine ähnliche Rechnung mit einem Zahlenstrahl.~~		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/3o9wNoydQi4?si=ZFxu5DzfKnmYYyEA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	~~<html><iframe width~~=~~"280" height~~=~~"157.5" src~~=~~"https://www.youtube~~.com/embed/3o9wNoydQi4?si=ZFxu5DzfKnmYYyEA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		==Definition==
			Bei der '''Zinseszinsrechnung''' wird die Zinseszinsformel je nach gesuchter Größe geschickt umgestellt.

	==~~Zinseszinsformel~~==		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o7vwsv-Z5gw?si=oXSXuAiEy6rf_BIw" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
	~~Wird ein '''Anfangskapital''' K(0) mit einem '''Zinssatz''' von p verzinst, so erhält man nach einer '''Laufzeit''' von n Jahren das '''Endkapital''' <math>K\left(n\right)~~=~~K\left(~~0~~\right)\cdot\left(1+p\right)^n~~=~~K\left(0\right)\cdot q^n~~</~~math~~>~~. Diese Formel nennen wir '''Zinseszinsformel'''.~~
	~~Wir nennen <math>q=1+p~~</~~math~~> ~~auch '''Aufzinsungsfaktor'''.~~

	~~==Zinseszinsformel umformen==~~
	~~Die Zinseszinsformel können wir je nach gesuchter Größe geschickt umstellen:~~
	===Anfangskapital===		===Anfangskapital===
	K(0) gesucht:		<math>K(0)</math> gesucht:

	<math>K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot q^n\ \|:q^n </math>		<math>K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot q^n~\|~:q^n </math>

	<math>K\left(0\right)=\frac{K\left(n\right)}{q^n} </math>		<math>K\left(0\right)=\frac{K\left(n\right)}{q^n} </math>

	===Zinssatz===		===Zinssatz===
	p gesucht:		<math>p</math> gesucht:

	<math>K(n)=K(0)\cdot q^n\ \|:K(0)</math>		<math>K(n)=K(0)\cdot q^n\ \|:K(0)</math>

	<math>q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\ \|\ \sqrt[n]{~~}</math>		<math>q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}~\|~\sqrt[n]{~~}</math>

	<math>q=\sqrt[n]{\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}} </math>		<math>q=\sqrt[n]{\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}} </math>
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	Zum Schluss wurde das Ergebnis für q in die Formel für p eingesetzt werden.		Zum Schluss wurde das Ergebnis für q in die Formel für p eingesetzt werden.
	===Laufzeit===		===Laufzeit===
	n gesucht:		<math>n</math> gesucht:

	<math>K~~\left~~(n~~\right~~)=K~~\left~~(0~~\right~~)\cdot q^n\ \|:K(0) </math>		<math>K(n)=K(0)\cdot q^n~\|~:K(0) </math>

	<math>q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\ \|log_q </math>		<math>q^n=\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}~\|~log_q </math>

	<math>n=log_q\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)=\frac{log\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)}{log\left(q\right)} </math>		<math>n=log_q\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)=\frac{log\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)}{log\left(q\right)} </math>

	===~~Erklärvideo zum Umformen der~~ Zinseszinsformel===		==Beispiele==
	<~~html~~><~~iframe width~~=~~"280" height~~=~~"157~~.~~5" src~~=~~"https:~~//~~www~~.~~youtube~~.~~com~~/~~embed~~/~~o7vwsv-Z5gw~~?si=~~oXSXuAiEy6rf_BIw" title~~=~~"YouTube video player" frameborder~~=~~"0" allow~~=~~"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen~~></~~iframe~~></~~html~~>		===Zinseszinsformel anwenden===
			[[Datei:ZinseszinsrechnungZahlungsreihe.png\|mini\|20.000 € werden für 5,5 % pro Jahr für 10 Jahre angelegt]]
			Wir legen einen Geldbetrag von 20.000 € bei einem Zinssatz von 5,5% pro Jahr für genau 10 Jahre bei einer Bank an. Wir überlassen also der Bank unser Geld und die Bank bezahlt als Gegenleistung [[Zins\|Zinsen]] an uns. Es ergibt sich die rechts abgebildete Rechnung.

			Wir haben also ein Anfangskapital von <math>K(0)=20.000</math>€ und legen dieses Geld zu einem Zinssatz von <math>p=5,5\%=0,055</math> pro Jahr an. Die Laufzeit beträgt <math>n=10</math> Jahre. Nach einem Jahr erhalten wir <math>20.000 \cdot 0,055=1100</math>€ Zinsen ausgezahlt. Nach diesem Jahr besitzen wir insgesamt einen Geldbetrag von <math> 20.000+1100=21100</math>€. Anschließend werden die <math>21100</math>€ verzinst, d. h. die Zinsen über <math>1100</math>€ werden mit verzinst, daher sprechen wir von Zinseszinsrechnung. Nach zwei Jahren besitzen wir einen Geldbetrag von <math>21.100+21.100 \cdot 0,055= 22260,5</math>€. Wir besitzen also nach 10 Jahren <math>K(10)\approx34.162,89</math>€. Dieser Wert lässt sich auch direkt berechnen: <math>K(10)=20.000\cdot{1,055}^{10}\approx34162,89</math>

			===Laufzeit berechnen===
			Wir legen ein Anfangskapital von 20.000 € zu einem Zinssatz von 5,5 % pro Jahr an. Es soll ein Endkapital über 40.000 € angespart werden. Es gilt <math>K(0)=20.000,~K(n)=40.000,~p=0,055,~q=1,055,~n=?</math>. Wir berechnen die dafür benötigte Laufzeit mit der Zinseszinsformel wie folgt:

			<math>K(n)=K(0)\cdot q^n</math><br>
			<math>40.000=20.000\cdot 1,055^n~\|~:20.000</math><br>
			<math>2=1,055^n~\|~log_{1,055}</math><br>
			<math>log_{1,055}(2)=n</math><br>
			<math>\frac{log(2)}{log(1,055)}=n</math> (Der Schritt kann alternativ angewendet werden.)<br>
			<math>13 \approx n</math>

			Nach ungefähr 13 Jahren beträgt das Endkapital 40.000 €.

	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 16. Juli 2024 um 13:27 Uhr

2024-07-16T13:27:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2024, 15:27 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Bei der Zinseszinsrechnung wird ein Kapital (Geldbetrag) über einen Zeitraum ~~(z. B. 5 Jahre)~~ angelegt und verzinst ~~(für das Anlegen erhält der Geldgeber regelmäßig einen Geldbetrag)~~. Die Zinsen werden in der Regel jährlich ausgezahlt und wieder verzinst.		Bei der Zinseszinsrechnung wird ein Kapital (Geldbetrag) über einen Zeitraum angelegt und [[Zins\|verzinst]]. Die [[Zins\|Zinsen]] werden in der Regel jährlich ausgezahlt und wieder verzinst.

	==Beispiel==		==Beispiel==

Flbkwikiadmin am 10. Juli 2024 um 10:47 Uhr

2024-07-10T10:47:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2024, 12:47 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o7vwsv-Z5gw?si=oXSXuAiEy6rf_BIw" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o7vwsv-Z5gw?si=oXSXuAiEy6rf_BIw" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	~~[[Kategorie:Mathematik]]~~
	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 8. Juli 2024 um 08:31 Uhr

2024-07-08T08:31:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2024, 10:31 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
			[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 8. Juli 2024 um 08:11 Uhr

2024-07-08T08:11:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2024, 10:11 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	===Erklärvideo zum Umformen der Zinseszinsformel===		===Erklärvideo zum Umformen der Zinseszinsformel===
	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o7vwsv-Z5gw?si=oXSXuAiEy6rf_BIw" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o7vwsv-Z5gw?si=oXSXuAiEy6rf_BIw" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Flbkwikiadmin: /* Erklärvideo zum Umformen */

2024-01-05T08:31:38Z

Erklärvideo zum Umformen

← Nächstältere Version		Version vom 5. Januar 2024, 10:31 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:
	<math>n=log_q\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)=\frac{log\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)}{log\left(q\right)} </math>		<math>n=log_q\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)=\frac{log\left(\frac{K\left(n\right)}{K\left(0\right)}\right)}{log\left(q\right)} </math>

	===Erklärvideo zum Umformen===		===Erklärvideo zum Umformen der Zinseszinsformel===
	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o7vwsv-Z5gw?si=oXSXuAiEy6rf_BIw" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o7vwsv-Z5gw?si=oXSXuAiEy6rf_BIw" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

Flbkwikiadmin: /* Beispiel */

2024-01-05T08:31:02Z

Beispiel

← Nächstältere Version		Version vom 5. Januar 2024, 10:31 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Wird ein Geldbetrag von 20000 € bei einem Zinssatz von 5,5% pro Jahr für genau 10 Jahre angelegt, ergibt sich die rechts abgebildete Rechnung.		Wird ein Geldbetrag von 20000 € bei einem Zinssatz von 5,5% pro Jahr für genau 10 Jahre angelegt, ergibt sich die rechts abgebildete Rechnung.

	Wir haben also zu Beginn einen Betrag von <math>K(0)=20000</math>€ und legen dieses Geld für <math>5,5\%=0,055</math> pro Jahr an. Nach einem Jahr erhalten wir <math>20000 \cdot 0,055=1100</math>€ Zinsen ausgezahlt. Nach diesem Jahr besitzen wir insgesamt einen Geldbetrag von <math> 20000+1100=21100</math>€. Anschließend werden die <math>21100</math>€ verzinst, d. h. die Zinsen über <math>1100</math>€ werden mit verzinst, daher sprechen wir von Zinseszinsrechnung. Nach zwei Jahren besitzen wir einen Geldbetrag von <math>21100+21100 \cdot 0,055= 22260,5</math>€. Wir besitzen also nach 10 Jahren <math>K(10)\approx34162,89</math>€. Dieser Wert lässt sich auch direkt berechnen: <math>K\left(10\right)=20.000\cdot{1,055}^{10}\approx34162,89</math> Das untere Video veranschaulicht ~~die~~ Rechnung mit einem Zahlenstrahl.		Wir haben also zu Beginn einen Betrag von <math>K(0)=20000</math>€ und legen dieses Geld für <math>5,5\%=0,055</math> pro Jahr an. Nach einem Jahr erhalten wir <math>20000 \cdot 0,055=1100</math>€ Zinsen ausgezahlt. Nach diesem Jahr besitzen wir insgesamt einen Geldbetrag von <math> 20000+1100=21100</math>€. Anschließend werden die <math>21100</math>€ verzinst, d. h. die Zinsen über <math>1100</math>€ werden mit verzinst, daher sprechen wir von Zinseszinsrechnung. Nach zwei Jahren besitzen wir einen Geldbetrag von <math>21100+21100 \cdot 0,055= 22260,5</math>€. Wir besitzen also nach 10 Jahren <math>K(10)\approx34162,89</math>€. Dieser Wert lässt sich auch direkt berechnen: <math>K\left(10\right)=20.000\cdot{1,055}^{10}\approx34162,89</math> Das untere Video veranschaulicht eine ähnliche Rechnung mit einem Zahlenstrahl.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/3o9wNoydQi4?si=ZFxu5DzfKnmYYyEA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/3o9wNoydQi4?si=ZFxu5DzfKnmYYyEA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

Flbkwikiadmin: /* Beispiel */

2024-01-05T08:30:33Z

Beispiel

← Nächstältere Version		Version vom 5. Januar 2024, 10:30 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/3o9wNoydQi4?si=ZFxu5DzfKnmYYyEA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/3o9wNoydQi4?si=ZFxu5DzfKnmYYyEA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Zinseszinsformel==		==Zinseszinsformel==
	Wird ein '''Anfangskapital''' K(0) mit einem '''Zinssatz''' von p verzinst, so erhält man nach einer '''Laufzeit''' von n Jahren das '''Endkapital''' <math>K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot\left(1+p\right)^n=K\left(0\right)\cdot q^n</math>. Diese Formel nennen wir '''Zinseszinsformel'''.		Wird ein '''Anfangskapital''' K(0) mit einem '''Zinssatz''' von p verzinst, so erhält man nach einer '''Laufzeit''' von n Jahren das '''Endkapital''' <math>K\left(n\right)=K\left(0\right)\cdot\left(1+p\right)^n=K\left(0\right)\cdot q^n</math>. Diese Formel nennen wir '''Zinseszinsformel'''.