Wendepunkt - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 11. November 2025 um 08:13 Uhr

2025-11-11T08:13:26Z

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	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
			[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin: /* Sattelpunkt */

2025-09-30T09:00:30Z

Sattelpunkt

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	'''2. Hinreichende Bedingung:'''		'''2. Hinreichende Bedingung:'''

	<math>f'''(x)=6>0</math>		<math>f'''(0)=6>0</math>

	Der [[Graph]] von <math>f</math> geht bei <math>x=0</math> von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Linkskrümmung]] über.		Der [[Graph]] von <math>f</math> geht bei <math>x=0</math> von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Linkskrümmung]] über.

Flbkwikiadmin: /* Hinreichende Bedingung für Wendestellen */

2024-09-27T06:21:23Z

Hinreichende Bedingung für Wendestellen

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	'''Alternativ''' können wir <math>f'''</math> verwenden:		'''Alternativ''' können wir <math>f'''</math> verwenden:

	Ist <math>f'''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Links-Rechtskrümmung]].		Ist <math>f''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Links-Rechtskrümmung]].

	===Funktionswert berechnen===		===Funktionswert berechnen===

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 09:20 Uhr

2024-07-21T09:20:18Z

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	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 08:54 Uhr

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	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

Flbkwikiadmin am 10. Juli 2024 um 10:43 Uhr

2024-07-10T10:43:21Z

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	Außerdem ist <math>W</math> ein Sattelpunkt, da <math>f'(0)=3 \cdot 0^2 =0</math> gilt. Die [[Extremwert#Notwendige_Bedingung_f%C3%BCr_Extremstellen\|notwendige Bedingung]] für Extremwerte ist also ebenfalls erfüllt. Die Steigung in <math>W</math> ist <math>0</math>.		Außerdem ist <math>W</math> ein Sattelpunkt, da <math>f'(0)=3 \cdot 0^2 =0</math> gilt. Die [[Extremwert#Notwendige_Bedingung_f%C3%BCr_Extremstellen\|notwendige Bedingung]] für Extremwerte ist also ebenfalls erfüllt. Die Steigung in <math>W</math> ist <math>0</math>.

	~~[[Kategorie:Mathematik]]~~
	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 9. Juli 2024 um 08:53 Uhr

2024-07-09T08:53:33Z

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 ====Kurvenübergänge graphisch erläutert====
 [[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]
-Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve <span style="color:blau">blau</span> und während der Rechtskurve <span style="color:grün">grün</span> gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.
+Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve <span style="color:blue">blau</span> und während der Rechtskurve <span style="color:green">grün</span> gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.
 ====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====
 [[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]
-Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange).
+Wir betrachten <span style="color:green"><math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math></span> mit den Ableitungen <span style="color:blue"><math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math></span>, <span style="color:red"><math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math></span> und <span style="color:orange"><math>f'''\left(x\right)=24x-18</math></span>.
-<math>f</math> hat bei <math>x_0\approx1,696</math> eine Wendestelle. Es gilt <math>f''\left(x_0\right)\approx0</math> und <math>f'''\left(x_0\right)\approx22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_0\right)\approx-12,121</math> ist <math>W(1,696|-12,121)</math> ein Wendepunkt.
+'''1. Notwendige Bedingung:'''
-<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.
+<math>f''(x)=0</math>
 ====Sattelpunkt====
 Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3</math> mit <math>f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~</math>.
 [[Kategorie:Mathematik]]
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
 [[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 9. Juli 2024 um 08:30 Uhr

2024-07-09T08:30:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2024, 10:30 Uhr
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	===Funktionswert berechnen===		===Funktionswert berechnen===
	~~====Kurvenübergänge graphisch erläutert====~~
	~~[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif\|mini\|<math>f(x)=sin(2x)</math>]]~~
	~~Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente\|Tangente]] während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt.~~
	~~====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====~~
	Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet.		Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ZIYraiiPBE4?si=SLuTWYgSnrFxNtMf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ZIYraiiPBE4?si=SLuTWYgSnrFxNtMf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Beispiele==		==Beispiele==

			====Kurvenübergänge graphisch erläutert====
			[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif\|mini\|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]
			Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente\|Tangente]] während der Linkskurve <span style="color:blau">blau</span> und während der Rechtskurve <span style="color:grün">grün</span> gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.

			====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====
	[[Datei:DifferentialrechnungWende.png\|mini\|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]		[[Datei:DifferentialrechnungWende.png\|mini\|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]
	Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange).		Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange).
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	<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196\|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.		<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion\|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196\|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.

			====Sattelpunkt====
			Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3</math> mit <math>f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~</math>.

	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „==Definition== Es sei $f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f$ eine stetige Funktion. $W(x_0,f(x_0)$ für $x_0 \in \mathbb{D}_f$ heißt '''Wendepunkt''' von $f$ , wenn an $W$ ein Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt von einer Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funk…“

2024-07-09T08:20:35Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Definition== Es sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> eine stetige Funktion. <math>W(x_0,f(x_0)</math> für <math>x_0 \in \mathbb{D}_f </math> heißt '''Wendepunkt''' von <math>f</math>, wenn an <math>W</math> ein Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt von einer Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funk…“

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==Definition==
Es sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> eine stetige [[Funktion]]. <math>W(x_0,f(x_0)</math> für <math>x_0 \in \mathbb{D}_f </math> heißt '''Wendepunkt''' von <math>f</math>, wenn an <math>W</math> ein Wechsel von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]] oder umgekehrt von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]] stattfindet. Wir nennen das eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]] oder [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. <math>x_0</math> nennen wir dann '''Wendestelle'''.

==Sattelpunkt==
Es sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> eine stetig [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbare]] [[Funktion]] und <math>x_0</math> eine Wendestelle von <math>f</math>. Gilt <math>f'(x_0)=0</math>, heißt <math>(x_0|f(x_0))</math> '''Sattelpunkt''' von <math>f</math>.

==Wendepunkt berechnen==
Wendepunkte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Funktionswert berechnet. Im Folgenden sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> eine stetig [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbare]] [[Funktion]] mit <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> und den [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktionen]] <math>f', f''</math> und <math>f'''</math>.

===Notwendige Bedingung für Wendestellen===
Hat <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> eine Wendestelle, so gilt <math>f''(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f''</math>.

===Hinreichende Bedingung für Wendestellen===
Hat <math>f''</math> an der Stelle <math>x_0</math> eine [[Nullstelle]] mit Vorzeichenwechsel, so hat der Graph von <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Findet der Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv statt, hat der Graph von <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Findet der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt, hat der [[Graph]] von <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].

'''Alternativ''' können wir <math>f'''</math> verwenden:

Ist <math>f'''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].

===Funktionswert berechnen===
====Kurvenübergänge graphisch erläutert====
[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|<math>f(x)=sin(2x)</math>]]
Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt.
====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====
Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ZIYraiiPBE4?si=SLuTWYgSnrFxNtMf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
==Beispiele==
[[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]
Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange).

<math>f</math> hat bei <math>x_0\approx1,696</math> eine Wendestelle. Es gilt <math>f''\left(x_0\right)\approx0</math> und <math>f'''\left(x_0\right)\approx22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_0\right)\approx-12,121</math> ist <math>W(1,696|-12,121)</math> ein Wendepunkt.

<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Fachabitur]]