Vierfeldertafel - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 27. Mai 2026 um 07:45 Uhr

2026-05-27T07:45:44Z

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	Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zur ~~graphischen~~ Darstellung von [[Zufallsexperiment\|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.		Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zur tabellarischen und strukturierten Darstellung von [[Zufallsexperiment\|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.

	==Definition==		== Definition ==
	Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine ~~tabellarische Darstellung~~, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis\|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die ~~übersichtliche~~ Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit\|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].		Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine Übersicht, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis\|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die schnelle Bestimmung von Schnittmengen und bildet die Basis für die Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit\|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].

	Die Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden die ~~Randsummen~~ (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu verdeutlichen.		Die Vierfeldertafel besteht im Kern aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden an den Rändern die sogenannten Randwahrscheinlichkeiten (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse zu verdeutlichen.

	==Aufbau einer Vierfeldertafel==		== Aufbau einer Vierfeldertafel ==
	Eine Vierfeldertafel hat folgende Struktur:		Eine Vierfeldertafel hat bezüglich relativer Wahrscheinlichkeiten standardmäßig folgende Struktur:

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
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	\|}		\|}

	Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.		Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich stets aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.

	~~==Beispiele==~~		''Prüfungshinweis:'' Neben Wahrscheinlichkeiten können in eine Vierfeldertafel auch '''absolute Häufigkeiten''' (z. B. konkrete Personenanzahlen) eingetragen werden. In diesem Fall steht im Feld rechts unten nicht die `1`, sondern die Gesamtgröße der Stichprobe (z. B. 10.000 Personen). Wahrscheinlichkeiten und absolute Zahlen dürfen innerhalb einer Tabelle niemals gemischt werden!

	===Medizinischer Test===		== Beispiele ==

			=== Medizinischer Test ===
	[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png\|mini\|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]		[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png\|mini\|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]
	Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

	~~Die~~ Vierfeldertafel sieht ~~dann~~ wie folgt aus:		Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % korrekterweise als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit (Prävalenz).

			Überträgt man diese Werte über die 1. Pfadregel in die Vierfeldertafel, sieht diese wie folgt aus:

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\| \|\| '''Test positiv (T)''' \|\| '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' \|\| '''Total'''		\| \|\| '''Test positiv (<math>T</math>)''' \|\| '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' \|\| '''Total'''
	\|-		\|-
	\| '''Krank (K)''' \|\| <math> 0,02 \cdot 0,95 = ~~0,019~~</math> \|\| <math> 0,02 \cdot 0,05 = ~~0,001~~</math> \|\| ~~<math>~~0,02~~</math>~~		\| '''Krank (<math>K</math>)''' \|\| <math>0,02 \cdot 0,95 =</math> '''0,019''' \|\| <math>0,02 \cdot 0,05 =</math> '''0,001''' \|\| '''0,02'''
	\|-		\|-
	\| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' \|\| <math> 0,98 \cdot 0,10 = ~~0,098~~</math> \|\| <math> 0,98 \cdot 0,90 = ~~0,882~~</math> \|\| ~~<math>~~0,98~~</math>~~		\| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' \|\| <math>0,98 \cdot 0,10 =</math> '''0,098''' \|\| <math>0,98 \cdot 0,90 =</math> '''0,882''' \|\| '''0,98'''
	\|-		\|-
	\| '''Total''' \|\| ~~<math>~~0,117~~</math>~~ \|\| ~~<math>~~0,883~~</math>~~ \|\| '''1'''		\| '''Total''' \|\| '''0,117''' \|\| '''0,883''' \|\| '''1'''
	\|}		\|}

	'''Berechnungen:'''		'''Formale Berechnungen (aus der Tabelle abgeleitet):'''

	~~Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:~~

	~~:<math>P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math>~~

	~~Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:~~

	:<math> ~~P(T) =~~ P(K \cap T) + P(~~\overline{~~K} \~~cap~~ T) = 0,~~019 +~~ 0,~~098~~ = 0,~~117~~ </math>		Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird (Schnittmenge):
			:<math>P(K \cap T) = P(K) \cdot P_K(T) = 0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math>

	~~[[Bedingte~~ Wahrscheinlichkeit]], dass ~~eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn~~ der Test positiv ~~ist~~:		Totale Wahrscheinlichkeit, dass der Test (ungeachtet des Gesundheitszustands) positiv ausfällt (Spaltensumme):
			:<math>P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>

	:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,~~162~~ </math>		[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, unter der Vorbedingung, dass der Test positiv ist:
			:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,1624 \approx 16,2\,\%</math>

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin: /* Medizinischer Test */

2025-05-16T05:32:12Z

Medizinischer Test

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	:<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>		:<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>

	Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:		[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:

	:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>		:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>

Flbkwikiadmin: /* Medizinischer Test */

2025-05-16T05:31:31Z

Medizinischer Test

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	===Medizinischer Test===		===Medizinischer Test===
	[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png\|mini\|Baumdiagramm zum Beispiel - Medizinischer Test]]		[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png\|mini\|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]
	Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.		Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

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2025-05-16T05:26:13Z

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	===Medizinischer Test===		===Medizinischer Test===
			[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png\|mini\|Baumdiagramm zum Beispiel - Medizinischer Test]]
	Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.		Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

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	\| \|\| '''Test positiv (T)''' \|\| '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' \|\| '''Total'''		\| \|\| '''Test positiv (T)''' \|\| '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' \|\| '''Total'''
	\|-		\|-
	\| '''Krank (K)''' \|\| <math>0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math> \|\| <math>0,05 \cdot 0,02 = 0,001</math> \|\| <math>0,02</math>		\| '''Krank (K)''' \|\| <math> 0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math> \|\| <math> 0,02 \cdot 0,05 = 0,001</math> \|\| <math>0,02</math>
	\|-		\|-
	\| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' \|\| <math>0,10 \cdot 0,98 = 0,098</math> \|\| <math>0,90 \cdot 0,98 = 0,882</math> \|\| <math>0,98</math>		\| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' \|\| <math> 0,98 \cdot 0,10 = 0,098</math> \|\| <math> 0,98 \cdot 0,90 = 0,882</math> \|\| <math>0,98</math>
	\|-		\|-
	\| '''Total''' \|\| <math>0,117</math> \|\| <math>0,883</math> \|\| '''1'''		\| '''Total''' \|\| <math>0,117</math> \|\| <math>0,883</math> \|\| '''1'''

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2025-05-14T06:52:21Z

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			Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zur graphischen Darstellung von [[Zufallsexperiment\|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.

	==Definition==		==Definition==
	Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis\|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit\|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].		Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis\|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit\|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].

Flbkwikiadmin: /* Beispiele */

2025-05-14T06:50:48Z

Beispiele

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	'''Berechnungen:'''		'''Berechnungen:'''
	* Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:
	<math> P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019 </math>		Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:
	* Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:
	<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>		:<math>P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math>
	* Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:
	<math> P(K\|T) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>		Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:

			:<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>

			Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:

			:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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2025-05-14T06:47:35Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Definition== Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen und ihren Gegenereignissen zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Die Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Erei…“

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==Definition==
Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].

Die Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden die Randsummen (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu verdeutlichen.

==Aufbau einer Vierfeldertafel==
Eine Vierfeldertafel hat folgende Struktur:

{| class="wikitable"
| || <math>B</math> || <math>\overline{B}</math> || <math>\sum</math>
|-
| <math>A</math> || <math>P(A \cap B)</math> || <math>P(A \cap \overline{B})</math> || <math>P(A)</math>
|-
| <math>\overline{A}</math> || <math>P(\overline{A} \cap B)</math> || <math>P(\overline{A} \cap \overline{B})</math> || <math>P(\overline{A})</math>
|-
| <math>\sum</math> || <math>P(B)</math> || <math>P(\overline{B})</math> || '''1'''
|}

Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.

==Beispiele==

===Medizinischer Test===
Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

Die Vierfeldertafel sieht dann wie folgt aus:

{| class="wikitable"
| || '''Test positiv (T)''' || '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' || '''Total'''
|-
| '''Krank (K)''' || <math>0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math> || <math>0,05 \cdot 0,02 = 0,001</math> || <math>0,02</math>
|-
| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math>0,10 \cdot 0,98 = 0,098</math> || <math>0,90 \cdot 0,98 = 0,882</math> || <math>0,98</math>
|-
| '''Total''' || <math>0,117</math> || <math>0,883</math> || '''1'''
|}

'''Berechnungen:'''
* Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:
<math> P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019 </math>
* Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:
<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>
* Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:
<math> P(K|T) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]