Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung) - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 09:20 Uhr

2024-07-21T09:20:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2024, 11:20 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 08:54 Uhr

2024-07-21T08:54:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2024, 10:54 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

Flbkwikiadmin: /* VarianzStandardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln */

2024-07-19T11:13:01Z

VarianzStandardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 13:13 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:

	==Beispiele==		==Beispiele==
	===~~VarianzStandardabweichung~~ zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===		===Varianz zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
	Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch <math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>.		Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch <math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>.

	===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===		===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===

Flbkwikiadmin: /* Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln */

2024-07-19T11:12:45Z

Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 13:12 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:

	===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===		===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
	Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable <math>X</math> berechnet sich durch durch <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87</math>.		Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable <math>X</math> berechnet sich durch durch <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87</math>. Die erwartete Abweichung vom Erwartungswert beträgt <math>0,87</math>.

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 19. Juli 2024 um 11:10 Uhr

2024-07-19T11:10:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 13:10 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==Varianz ~~(Wahrscheinlichkeitsrechnung)==~~		Gemäß dem [[Empirisches_Gesetz_der_großen_Zahlen\|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit\|relativen Häufigkeiten]] der Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment\|Zufallsexperiments]] den [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeiten]] an. Die Varianz ist der [[Erwartungswert]] der quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert.

	===Definition===		==Definition==
	~~Die~~ '''Varianz''' ~~ist durch~~		Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> und <math>E(X)</math> der [[Erwartungswert]]. Dann ist <math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-E(X))^2 \cdot P(X=x_n)</math> die '''Varianz''' der Zufallsvariable.

	<~~math~~>~~\sigma^2~~=~~V(X)~~=~~(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+~~...~~+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i<~~/~~math>~~		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	~~definiert. Die '''Standardabweichung''' ist <math>\sigma~~=~~\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math>.~~



	~~Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu~~

	* 68 % im Intervall <math>\left[\mu-~~\sigma~~;~~\mu+\sigma\right]</math>~~
	* 95 % im Intervall <math>\left[\mu-~~2\sigma~~;~~\mu+2\sigma\right]</math>~~
	* 99 % im Intervall <math>\left[\mu-~~3\sigma~~;~~\mu+3\sigma\right]</math>~~



	~~===Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zum dreifachen Münzwurf ermitteln===~~
	~~Für das vorherige Beispiel mit dem dreifachen Münzwurf und der Zufallsvariable X, Anzahl von Zahl, gilt <math>P(X=0)=0,125</math~~>~~,<math>P(X=1)=0,375~~</~~math~~>~~, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>. Der '''Erwartungswert''' ist dann:~~

	~~<math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5~~</~~math~~>

	~~Die '''Varianz'''~~ und die '''Standardabweichung''' ~~sind dann:~~		==Standardabweichung==
			Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] und <math>V(X)</math> die Varianz der Zufallsvariable, dann heißt <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math> '''Standardabweichung'''.

	<math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>		==Beispiele==
			===VarianzStandardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
			Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch <math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>.

	<math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75}</math>		===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
			Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable <math>X</math> berechnet sich durch durch <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87</math>.
	~~<html><iframe width="280" height="157~~.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „==Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)== ===Definition=== Die '''Varianz''' ist durch $\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+...+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i$ definiert. Die '''Standardabweichung''' ist $\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}$ . Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu * 68 % im Intervall $\left[\mu-\sigma;\mu+\sigma\ri…“$

2024-07-19T08:55:59Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)== ===Definition=== Die '''Varianz''' ist durch <math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+...+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i</math> definiert. Die '''Standardabweichung''' ist <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math>. Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu * 68 % im Intervall <math>\left[\mu-\sigma;\mu+\sigma\ri…“

Neue Seite

==Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)==

===Definition===
Die '''Varianz''' ist durch

<math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+...+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i</math>

definiert. Die '''Standardabweichung''' ist <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math>.

Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu

* 68 % im Intervall <math>\left[\mu-\sigma;\mu+\sigma\right]</math>
* 95 % im Intervall <math>\left[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma\right]</math>
* 99 % im Intervall <math>\left[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma\right]</math>

===Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zum dreifachen Münzwurf ermitteln===
Für das vorherige Beispiel mit dem dreifachen Münzwurf und der Zufallsvariable X, Anzahl von Zahl, gilt <math>P(X=0)=0,125</math>,<math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>. Der '''Erwartungswert''' ist dann:

<math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math>

Die '''Varianz''' und die '''Standardabweichung''' sind dann:

<math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>

<math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75}</math>

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Fachabitur]]