Stetige Funktion - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 3. September 2024 um 16:55 Uhr

2024-09-03T16:55:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2024, 18:55 Uhr
Zeile 127:		Zeile 127:

	Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.		Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.

			[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
			[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

Flbkwikiadmin: /* Stetige Funktion */

2024-09-03T16:53:59Z

Stetige Funktion

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2024, 18:53 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:

	===Stetige Funktion===		===Stetige Funktion===
			[[Datei:StetigkeitLineareFunktion.png\|mini\|Graph der stetigen Funktion <math>f(x)=x</math>]]
	Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.		Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Flbkwikiadmin: /* Stetige Funktionen */

2024-09-03T16:51:56Z

Stetige Funktionen

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2024, 18:51 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:
	Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.		Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.

	===Stetige ~~Funktionen~~===		===Stetige Funktion===
	Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.		Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Flbkwikiadmin: /* Unstetige Funktionen */

2024-09-03T16:51:50Z

Unstetige Funktionen

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2024, 18:51 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:

	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Unstetige ~~Funktionen~~===		===Unstetige Funktion===
	[[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png\|mini\|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}		[[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png\|mini\|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}
	x, & \text{wenn }x\le 1\\		x, & \text{wenn }x\le 1\\

Flbkwikiadmin: /* Stetige Funktionen */

2024-09-03T16:51:38Z

Stetige Funktionen

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2024, 18:51 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:

	===Stetige Funktionen===		===Stetige Funktionen===
			Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

			Der Funktionswert an einer Stelle <math>x_0</math> ist:

			<math>
			f(x_0) = x_0
			</math>

			Für <math>f(x) = x</math> gilt:

			<math>
			\|f(x) - f(x_0)\| = \|x - x_0\|
			</math>

			Da wir wollen, dass <math>\|f(x) - f(x_0)\| < \epsilon</math> gilt, müssen wir sicherstellen, dass:

			<math>
			\|x - x_0\| < \delta \implies \|x - x_0\| < \epsilon
			</math>

			Hier sehen wir, dass wir einfach <math>\delta = \epsilon</math> wählen können. Das bedeutet, dass für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein entsprechendes <math>\delta = \epsilon</math> existiert, sodass die Bedingung <math>\|x - x_0\| < \delta</math> garantiert, dass <math>\|f(x) - f(x_0)\| < \epsilon</math> erfüllt ist.

			Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.

Flbkwikiadmin: /* Beispiele */

2024-09-03T16:47:09Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2024, 18:47 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

	springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> ~~nicht stetig~~ ist.		springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> in <math>x_0=1</math> unstetig ist.

	====Kontraposition====		====Kontraposition====
Zeile 41:		Zeile 41:
	Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>\|f(x) - f(1)\| = \|1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1\| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>.		Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>\|f(x) - f(1)\| = \|1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1\| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>.

	Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>\|f(x) - f(1)\| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>~~. Daher ist <math>f</math> an der Stelle <math>x_0 = 1</math> unstetig~~.		Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>\|f(x) - f(1)\| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>.

	====Fallunterscheidung====		====Fallunterscheidung====

Flbkwikiadmin am 3. September 2024 um 16:46 Uhr

2024-09-03T16:46:01Z

@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 \end{cases}</math>
-springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2.
+springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> nicht stetig ist.
 ===Stetige Funktionen===

Flbkwikiadmin: /* Unstetige Funktionen */

2024-09-03T16:24:20Z

Unstetige Funktionen

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 ==Beispiele==
 ===Unstetige Funktionen===
 ===Stetige Funktionen===

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „In der Mathematik ist ein stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des x-Wertes nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswertes nach sich ziehen können. Anschaulich bedeutet es, dass der Graph einer stetigen Funktion als eine durchgängige Linie, ohne Sprünge, gezeichnet werden kann. ==Definition== Es sei $f\colon \mathbb{D}_f \to \R$ eine Funktion. '''Definition mittels…“

2024-09-03T16:19:33Z

Die Seite wurde neu angelegt: „In der Mathematik ist ein stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des x-Wertes nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswertes nach sich ziehen können. Anschaulich bedeutet es, dass der Graph einer stetigen Funktion als eine durchgängige Linie, ohne Sprünge, gezeichnet werden kann. ==Definition== Es sei <math>f\colon \mathbb{D}_f \to \R</math> eine Funktion. '''Definition mittels…“

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In der Mathematik ist ein stetige Funktion eine [[Funktion]], bei der hinreichend kleine Änderungen des [[Funktion#Definition|x-Wertes]] nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswertes nach sich ziehen können. Anschaulich bedeutet es, dass der [[Graph]] einer stetigen Funktion als eine durchgängige Linie, ohne Sprünge, gezeichnet werden kann.

==Definition==
Es sei <math>f\colon \mathbb{D}_f \to \R</math> eine [[Funktion]].

'''Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium:'''

<math>f</math> heißt '''stetig in <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math>''', wenn zu jedem <math>\varepsilon>0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert, so dass für alle <math>x \in \mathbb{D}_f</math> mit
:<math>|x - x_0| < \delta</math>
gilt:
:<math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon </math>.

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung <math>\varepsilon</math> des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung <math>\delta</math> im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

'''Definition mittels Grenzwerten:'''

<math>f</math> heißt '''stetig in <math>x_0</math>''', wenn der Grenzwert <math>\lim_{x\to x_0} f(x)</math> existiert und mit dem Funktionswert <math>f(x_0)</math> übereinstimmt, wenn also gilt:
:<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>.<br />

Ist diese Bedingung für ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> nicht erfüllt, so nennt man <math>f</math> '''unstetig''' in <math>x_0</math>.

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

==Beispiele==
===Unstetige Funktionen===

===Stetige Funktionen===