Stammfunktion - Versionsgeschichte

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	Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als ~~integrieren~~ und umgangssprachlich als ~~"aufleiten"~~ bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph\|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.		Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph\|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.

	==Definition==		==Definition==
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	==Unbestimmtes Integral==		==Unbestimmtes Integral==
	Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer ~~konstanten Funktion~~ <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können		Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer Konstanten <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können
	:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>.		:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>.

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	Eine Funktion zu der die [[Ableitung]] gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph\|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.		Eine Funktion zu der die [[Ableitung]] gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als integrieren und umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph\|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.

	==Definition==		==Definition==

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2025-02-24T16:13:33Z

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Zeile 7:		Zeile 7:
	==Unbestimmtes Integral==		==Unbestimmtes Integral==
	Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können		Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können
	:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>.		:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>.

	==Integrationsregeln==		==Integrationsregeln==
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	===Potenzregel===		===Potenzregel===
	Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:		Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
	:<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>		:<math>\int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>

	Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:		Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
	:<math>\int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>		:<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>

	Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:		Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:
	:<math>\int (\frac{1}{x})dx =\ln\|x\|+C</math>		:<math>\int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln\|x\|+C</math>

	Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:		Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:
	:<math>\int (\sqrt[n]{x^m})dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>		:<math>\int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>

	Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt:		Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt:
	:<math>\int e^{nx} dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math>		:<math>\int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math>

	===Faktorregel===		===Faktorregel===
	Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:		Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:
	:<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>		:<math>\int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx</math>

	===Summenregel===		===Summenregel===
	Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:		Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:
	:<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>		:<math>\int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx</math>

	==Beispiele==		==Beispiele==
Zeile 42:		Zeile 42:
	===Potenzregel anwenden===		===Potenzregel anwenden===
	Das unbestimmte Integral von <math>f(x) = x^3</math> wird durch		Das unbestimmte Integral von <math>f(x) = x^3</math> wird durch
	:<math>\int (x^3) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>		:<math>\int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>
	berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt.		berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt.

	===Faktor- und Summenregel anwenden===		===Faktor- und Summenregel anwenden===
	Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch		Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch
	:<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 dx + \int 3x^3 dx= 2 \int x^2 dx + 3\int x^3 dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>		:<math>\int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>
	berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.		berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.

	===Gebrochenrationale Funktion integrieren===		===Gebrochenrationale Funktion integrieren===
	Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch		Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch
	:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx = 2 \int x^{-1} dx + 3 \int x^{-2} dx = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} + C</math>		:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} + C</math>
	berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.		berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

Zeile 59:		Zeile 59:
	<math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3}</math>		<math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3}</math>
	wird durch		wird durch
	:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} dx</math>		:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
	:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} dx</math>		:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
	:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}</math>		:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}</math>
	:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>		:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>
Zeile 70:		Zeile 70:
	===Exponentialfunktion integieren===		===Exponentialfunktion integieren===
	Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch		Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch
	:<math>\int 5e^{3x} dx = 5 \int e^{3x} dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math>		:<math>\int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math>
	berechnet.		berechnet.
	<math>F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4</math> und <math>F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9</math>		<math>F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4</math> und <math>F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9</math>

Flbkwikiadmin: /* Beispiele */

2025-02-05T07:00:05Z

Beispiele

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Zeile 66:		Zeile 66:
	<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und		<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und
	<math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12</math>		<math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12</math>
			sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

			===Exponentialfunktion integieren===
			Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch
			:<math>\int 5e^{3x} dx = 5 \int e^{3x} dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math>
			berechnet.
			<math>F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4</math> und <math>F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9</math>
	sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.		sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin: /* Potenzregel */

2025-02-05T06:55:35Z

Potenzregel

← Nächstältere Version		Version vom 5. Februar 2025, 08:55 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:		Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:
	:<math>\int (\sqrt[n]{x^m})dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>		:<math>\int (\sqrt[n]{x^m})dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>

			Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt:
			:<math>\int e^{nx} dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math>

	===Faktorregel===		===Faktorregel===

Flbkwikiadmin: /* Wurzelfunktion integrieren */

2025-02-05T06:42:34Z

Wurzelfunktion integrieren

Flbkwikiadmin: /* Integrationsregeln */

2025-02-05T06:38:16Z

Integrationsregeln

← Nächstältere Version		Version vom 5. Februar 2025, 08:38 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:

	Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:		Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
	:<math>~~\int f(x) dx =~~ \int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>		:<math>\int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>

	Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:		Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:
	:<math>\int f(x) ~dx =\int (\frac{1}{x})dx =\~~ln\|~~x\|+C</math>		:<math>\int (\frac{1}{x})dx =\ln\|x\|+C</math>

			Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:
			:<math>\int (\sqrt[n]{x^m})dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>

	===Faktorregel===		===Faktorregel===

Flbkwikiadmin am 5. Februar 2025 um 06:32 Uhr

2025-02-05T06:32:18Z

@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 :<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx = 2 \int x^{-1} dx + 3 \int x^{-2} dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math>
 berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
 [[Kategorie:Integralrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin am 5. Februar 2025 um 06:26 Uhr

2025-02-05T06:26:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Februar 2025, 08:26 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:

	===Potenzregel===		===Potenzregel===
	Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:		Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
	<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.		:<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>

			Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
			:<math>\int f(x) dx = \int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>

			Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:
			:<math>\int f(x) ~dx =\int (\frac{1}{x})dx =\ln\|x\|+C</math>

	===Faktorregel===		===Faktorregel===
	Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:		Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:
	<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>.		:<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>

	===Summenregel===		===Summenregel===
	Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:		Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:
	<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>.		:<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>

	~~===Gebrochenrationale Funktionen===~~
	~~Für <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:~~
	~~:<math>\int f(x) dx = \int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>.~~

	==Beispiele==		==Beispiele==
Zeile 41:		Zeile 43:
	:<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 dx + \int 3x^3 dx= 2 \int x^2 dx + 3\int x^3 dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>		:<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 dx + \int 3x^3 dx= 2 \int x^2 dx + 3\int x^3 dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>
	berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.		berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.

			===Gebrochenrationale Funktion integrieren===
			Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch
			:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx = 2 \int x^{-1} dx + 3 \int x^{-2} dx = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} + C</math>
			berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln\|x\| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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Zeile 1:		Zeile 1:
	Eine Funktion ~~zu der die~~ [[Ableitung]] ~~gebildet wurde~~, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als integrieren und umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph\|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.		Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als integrieren und umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph\|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.

	==Definition==		==Definition==
	Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,		Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,
	dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ~~heißt dabei~~ die [[Ableitung]] von <math>F</math>.		dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ist die [[Ableitung]] von <math>F</math>.

	==Unbestimmtes Integral==		==Unbestimmtes Integral==
Zeile 19:		Zeile 19:

	Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:		Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
	:<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>		:<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C</math>

	Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:		Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:
Zeile 61:		Zeile 61:
	:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>		:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
	:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>		:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
	:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}</math>		:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}+C</math>
	:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>		:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>

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	===Wurzelfunktion integrieren===		===Wurzelfunktion integrieren===
	Das unbestimmte Integral der Funktion		Das unbestimmte Integral der Funktion
	<math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}</math>		<math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3}</math>
	wird durch		wird durch
	:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \right) dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} dx </math>		:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} dx</math>
	:<math> =3 \int x^{\frac{1}{2}} dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} dx </math>		:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} dx</math>
	:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}}</math>		:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}</math>
	:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} + C</math>		:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>
	~~berechnet.~~
	<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} + 5</math> und		<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und
	<math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - 12</math>		<math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12</math>
	sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.		sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]