Rentenrechnung - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 09:19 Uhr

2024-07-21T09:19:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2024, 11:19 Uhr
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	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 08:54 Uhr

2024-07-21T08:54:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2024, 10:54 Uhr
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	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

Flbkwikiadmin am 16. Juli 2024 um 15:05 Uhr

2024-07-16T15:05:00Z

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	Bei der Rentenrechnung werden jährlich gleichhohen Beträge auf ein Konto eingezahlt und für eine bestimmte Laufzeit [[Zinssatz\|verzinst]].		Bei der Rentenrechnung werden jährlich gleichhohen Beträge auf ein Konto eingezahlt und für eine bestimmte Laufzeit jährlich [[Zinssatz\|verzinst]].

	==Rente==		==Rente==
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	==Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte==		==Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte==
	Eine Rente heißt '''nachschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r</math> zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag <math>r</math> zu Jahresanfang gezahlt werden.		Eine Rente heißt '''nachschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag <math>r \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> zu Jahresanfang gezahlt werden.

	Für <math>n</math> Raten der Höhe <math>r</math>, einem Jahreszins von <math>p</math> und <math>q=1+p</math> ist		Für <math>n</math> Raten der Höhe <math>r</math>, einem Jahreszins von <math>p</math> und <math>q=1+p</math> ist
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	==Definition==		==Definition==
	Bei der '''Rentenrechnung''' ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, Zinssatz, Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert.		Bei der '''Rentenrechnung''' ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, [[Zinssatz]], Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert.

	==Beispiele==		==Beispiele==
	Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr ~~der Einzahlung~~ keine Zinsen, sondern nur für die darauffolgenden Jahre.		Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr 0 keine [[Zins\|Zinsen]], sondern nur für die darauffolgenden 5 Jahre. Die letzte Rate wird gar nicht verzinst, weil diese am Ende der Laufzeit eingezahlt wird.

	===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen===		===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen===
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	\|}		\|}

	Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen ~~'''~~nachschüssigen Rentenendwert~~'''~~ von <math>R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ </math>€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:		Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen nachschüssigen Rentenendwert von <math>R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ </math>€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:

	<math>R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59</math>		<math>R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59</math>

	Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr ~~der Einzahlung~~ ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall		Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr 0 ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall

	<math>R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19</math>		<math>R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19</math>
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	===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen===		===Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen===
	Den ~~'''~~nach-~~'''~~ bzw. ~~'''~~vorschüssigen Rentenbarwert~~'''~~ in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:		Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:

	<math>R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62</math>		<math>R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62</math>
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	===Rate berechnen===		===Rate berechnen===
	Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und q=1,06 berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:		Damit wir die Rate r zu <math>R_n\left(6\right)=34.876,59</math> und <math>q=1,06</math> berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:

	<math>R_n(n)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ \|:\frac{q^n-1}{q-1}</math>		<math>R_n(n)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ \|:\frac{q^n-1}{q-1}</math>
Zeile 73:		Zeile 73:

	<math>r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000</math>		<math>r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000</math>

			Alternativ können die gegebenen Werte direkt in die Formel eingesetzt werden. Anschließend wird nach <math>r</math> umgeformt.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YmY2KMdITLk?si=DwLOwT7ycmN7E_Ae" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YmY2KMdITLk?si=DwLOwT7ycmN7E_Ae" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	===Laufzeit berechnen===		===Laufzeit berechnen===
	~~[[Datei:RentenrechnungTaschenrechner.png\|mini\|Laufzeit mit Tabellenfunktion des Taschenrechners ermitteln]]~~		Um die Laufzeit <math>n</math> zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die [[Taschenrechner_verwenden#Finanzmathematik\|Tabellenfunktion des Taschenrechners]] und geben die Formel ein.
	Um die Laufzeit n zum nachschüssigen Rentenendwert <math>R_n\left(n\right)=34.876,59</math> mit <math>q=1,06</math> und <math>r=5.000</math> zu ermitteln, verwenden wir die Tabellenfunktion des Taschenrechners und geben die Formel ein.

	In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n~~\left~~(6~~\right~~)\~~approx34~~.876,59</math> beträgt~~. Ende im Tabellenbereich gibt an, für wie viele Jahre der nachschüssige Rentenendwert berechnet werden soll~~.		In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert <math>R_n(6)\approx 34.876,59</math> beträgt.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/-4AXmeSYQ9w?si=zRidzXr5PgoOiKgi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/-4AXmeSYQ9w?si=zRidzXr5PgoOiKgi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	~~===Bemerkung===~~
	~~Es muss immer die im Sachzusammenhang sinnvolle Rentenformel ausgewählt werden, bevor die Tabellenfunktion oder die Umformung nach r angewendet wird!~~

	==Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel==		==Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel==

Flbkwikiadmin am 16. Juli 2024 um 14:24 Uhr

2024-07-16T14:24:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2024, 16:24 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Bei der Rentenrechnung ~~analysieren wir regelmäßige Zahlungen von~~ gleichhohen ~~Beträgen, die zu einem~~ [[Zinssatz]] ~~und für eine Laufzeit angelegt werden~~.		Bei der Rentenrechnung werden jährlich gleichhohen Beträge auf ein Konto eingezahlt und für eine bestimmte Laufzeit [[Zinssatz\|verzinst]].

	==Rente==		==Rente==

Flbkwikiadmin am 16. Juli 2024 um 14:22 Uhr

2024-07-16T14:22:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2024, 16:22 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Bei der Rentenrechnung analysieren wir regelmäßige Zahlungen von gleichhohen Beträgen, die zu einem Zinssatz und für eine Laufzeit angelegt werden.		Bei der Rentenrechnung analysieren wir regelmäßige Zahlungen von gleichhohen Beträgen, die zu einem [[Zinssatz]] und für eine Laufzeit angelegt werden.

	==Rente==		==Rente==

Flbkwikiadmin: /* Nachschüssige und vorschüssige Renten */

2024-07-16T12:53:26Z

Nachschüssige und vorschüssige Renten

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2024, 14:53 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Werden in regelmäßigen Abständen gleichhohe Ein- oder Auszahlungen vorgenommen, spricht man von einer '''Rente'''. Wir untersuchen in der Regel nur jährliche Zahlungen.		Werden in regelmäßigen Abständen gleichhohe Ein- oder Auszahlungen vorgenommen, spricht man von einer '''Rente'''. Wir untersuchen in der Regel nur jährliche Zahlungen.

	==Nachschüssige und vorschüssige ~~Renten~~==		==Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte==
	Eine Rente heißt '''nachschüssig~~''' bzw. '''vorschüssig~~''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r</math> zu Jahresende ~~bzw~~. Jahresanfang gezahlt werden.		Eine Rente heißt '''nachschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag <math>r</math> zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt '''vorschüssig''', falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag <math>r</math> zu Jahresanfang gezahlt werden.

	~~===Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenendwert===~~		Für <math>n</math> Raten der Höhe <math>r</math>, einem Jahreszins von <math>p</math> und <math>q=1+p</math> ist
	Für n Raten der Höhe r ~~und~~ einem Jahreszins von p ist		*<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>´der '''nachschüssige Rentenendwert'''.
			*<math>R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> der '''vorschüssige Rentenendwert'''.
	<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math> ~~(nachschüssig)~~		*<math>R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> der '''nachschüssige Rentenbarwert'''.
			*<math>R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> der '''vorschüssige Rentenbarwert'''.
	~~bzw~~.

	<math>R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}~~</math> (vorschüssig)~~

	~~mit <math>q=1+p~~</math> der ~~'''nach-''' bzw.~~ '''vorschüssige Rentenendwert'''.

	~~===Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenbarwert===~~
	~~Den '''nach-''' bzw. '''vorschüssigen Rentenbarwert'''~~

	<math>R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> ~~(nachschüssig)~~

	~~bzw~~.

	<math>R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n}</math> ~~(vorschüssig)~~

	~~erhalten wir, indem wir den Rentenendwert abzinsen~~.

	==Definition==		==Definition==

Flbkwikiadmin am 16. Juli 2024 um 12:43 Uhr

2024-07-16T12:43:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2024, 14:43 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:

	erhalten wir, indem wir den Rentenendwert abzinsen.		erhalten wir, indem wir den Rentenendwert abzinsen.

			==Definition==
			Bei der '''Rentenrechnung''' ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, Zinssatz, Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Flbkwikiadmin am 10. Juli 2024 um 10:46 Uhr

2024-07-10T10:46:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2024, 12:46 Uhr
Zeile 112:		Zeile 112:
	<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>		<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>

	~~[[Kategorie:Mathematik]]~~
	[[Kategorie:Finanzmathematik]]		[[Kategorie:Finanzmathematik]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 8. Juli 2024 um 08:20 Uhr

2024-07-08T08:20:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2024, 10:20 Uhr
Zeile 111:		Zeile 111:

	<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>		<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>

			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:Finanzmathematik]]
			[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin: /* Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel */

2024-06-29T12:03:37Z

Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juni 2024, 14:03 Uhr
Zeile 107:		Zeile 107:
	<math>R_n\left(n\right)\cdot q=r\cdot q^n+r\cdot q^{n-1}+\ldots+r\cdot q^1\ </math>		<math>R_n\left(n\right)\cdot q=r\cdot q^n+r\cdot q^{n-1}+\ldots+r\cdot q^1\ </math>

	<math>R_n~~\left~~(n~~\right~~)\cdot q-R_n~~\left~~(n~~\right~~)=r\cdot q^n-r		<math>R_n(n)\cdot q-R_n(n)=r\cdot q^n-r
	R_n~~\left~~(n~~\right~~)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ \|∶(q-1)</math>		R_n(n)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ \| : (q-1)</math>

	<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>		<math>R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}</math>