Produktregel - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2024-12-24T09:24:16Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. Dezember 2024, 11:24 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	: <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math>		: <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math>

	<html><iframe width="~~560~~" height="~~315~~" src="https://www.youtube.com/embed/r-PB5sW4sOk?si=jzJwZZnTaiuYODcm" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/r-PB5sW4sOk?si=jzJwZZnTaiuYODcm" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>

	==Beweis der Produktregel==		==Beweis der Produktregel==

2024-12-24T09:23:59Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. Dezember 2024, 11:23 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	: <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math>		: <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math>

			<html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/r-PB5sW4sOk?si=jzJwZZnTaiuYODcm" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>

	==Beweis der Produktregel==		==Beweis der Produktregel==

2024-09-10T10:43:27Z

Quotientenregel

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2024, 12:43 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:

	==Quotientenregel==		==Quotientenregel==
	Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung\|differenzierbare]] Funktionen, so ist		Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung\|differenzierbare]] [[Funktion\|Funktionen]], so ist

	: <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math> und <math>v(x) \neq 0</math>		: <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math> und <math>v(x) \neq 0</math>

	differenzierbar. Für die Ableitung von <math>g</math> gilt		differenzierbar. Für die [[Ableitung]] von <math>g</math> gilt

	: <math>g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}</math>		: <math>g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}</math>

2024-09-10T10:43:05Z

Beweis der Produktregel

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2024, 12:43 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	==Beweis der Produktregel==		==Beweis der Produktregel==
	Wir leiten die Funktion <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math> ab.		Wir leiten die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math> ab.

	Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken:		Ableitung durch Grenzwert des [[Ableitung\|Differenzenquotienten]] ausdrücken:

	: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math>		: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math>

2024-09-10T10:42:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2024, 12:42 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Die Produktregel ist ~~ein~~ Regel zum ~~ableiten~~ von Funktionen. Die Quotientenregel ist das Anwenden der Produktregel auf eine Funktion der Form <math>f(x)=u(x)v(x)^{-1}</math>.		Die Produktregel ist wie die [[Kettenregel]] eine Regel zum [[Ableitung\|Ableiten]] von [[Funktion\|Funktionen]]. Die Quotientenregel ist das Anwenden der Produktregel auf eine Funktion der Form <math>f(x)=u(x)v(x)^{-1}</math>.

	==Definition==		==Definition==
	Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung\|differenzierbare]] Funktionen, so ist auch		Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung\|differenzierbare]] [[Funktion\|Funktionen]], so ist auch

	: <math>f(x) = u(x)\cdot v(x)</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math>		: <math>f(x) = u(x)\cdot v(x)</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math>

	differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt		differenzierbar. Für die [[Ableitung]] von <math>f</math> gilt

	: <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math>		: <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math>

2024-09-10T09:35:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2024, 11:35 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	Einsetzen ergibt:		Einsetzen ergibt:
	<math>g'(x) = \frac{2x \cdot 2x - x^2 \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{4x^2 - 2x^2}{4x^2} = \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2}</math>.		<math>g'(x) = \frac{2x \cdot 2x - x^2 \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{4x^2 - 2x^2}{4x^2} = \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2}</math>.

			[[Kategorie:Differentialrechnung]]
			[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

2024-09-09T12:46:48Z

Quotientenregel

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2024, 14:46 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	<math>f'(x) = 2 \cdot x^2 + 2x \cdot 2x = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2</math>.		<math>f'(x) = 2 \cdot x^2 + 2x \cdot 2x = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2</math>.

	===Quotientenregel===		===Quotientenregel anwenden===
	Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^2</math> und <math>v(x) = 2x</math> mit <math>v(x) \neq 0</math>.		Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^2</math> und <math>v(x) = 2x</math> mit <math>v(x) \neq 0</math>.
	Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math>.		Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math>.

2024-09-09T12:46:38Z

Produktregel

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2024, 14:46 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	==Beispiele==		==Beispiele==

	===Produktregel===		===Produktregel anwenden===
	Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = 2x</math> und <math>v(x) = x^2</math>.		Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = 2x</math> und <math>v(x) = x^2</math>.
	Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(x) \cdot v(x)</math>.		Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(x) \cdot v(x)</math>.

2024-09-09T12:46:22Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 ==Definition==
 Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung|differenzierbare]] Funktionen, so ist auch
@@ Zeile 42: / Zeile 44: @@
 ==Beispiele==

2024-09-09T12:36:44Z

Quotientenregel

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2024, 14:36 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:

	==Quotientenregel==		==Quotientenregel==
			Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung\|differenzierbare]] Funktionen, so ist

			: <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math> und <math>v(x) \neq 0</math>

			differenzierbar. Für die Ableitung von <math>g</math> gilt

			: <math>g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}</math>

	==Beispiele==		==Beispiele==