Natürliche Exponentialfunktion - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Beispiele */

2024-09-06T10:51:43Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2024, 12:51 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:

	==Beispiele==		==Beispiele==
			===Graphen von e-Funktionen===
			[[Datei:E-FunktionGraphen1.png\|mini\|Graphen von <math>f(x)=e^x</math>,<math>f_1(x)=e^{2x}</math>, <math>f_2(x)=e^{x+2}</math>, <math>f_3(x)=-e^x</math>, <math>f_4(x)=(-2x^2+3)e^x-4</math>]]
			Auf der rechten Seite sehen wir die Graphen einer e-Funktion und von e-Funktionen in erweiterter Form. <math>f</math> zeigt die e-Funktion. <math>f_1</math> verläuft im Vergleich zu <math>f</math> steiler. Schiebt man <math>f</math> um zwei Stellen nach rechts, erhält man <math>f_2</math>. Wird <math>f</math> an der x-Achse gespiegelt, erhalten wir <math>f_3</math>. <math>f_4</math> entsteht aus <math>f</math>, indem der Graph abschnittsweise die Form des Polynoms <math>-2x^2+3</math> annimmt und für <math>x</math> gegen <math>- \infty</math> <math>y=4</math> als Asymptote hat.

	===Ableitungen von e-Funktionen===		===Ableitungen von e-Funktionen===
	Wir bilden die Ableitungen von <math>f,g,h</math>:		Wir bilden die Ableitungen von <math>f,g,h</math>:

2024-09-06T10:41:31Z

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Zeile 23:		Zeile 23:
	==Definition==		==Definition==
	Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>.		Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>.

			==Erweiterte Form==
			Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot e^{\lambda x}+d</math> mit <math>a,~c,~d,~\lambda \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte e-Funktion'''. .

	==Beispiele==		==Beispiele==

2024-09-06T10:31:34Z

Beispiele

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Zeile 26:		Zeile 26:
	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Ableitungen von e-Funktionen===		===Ableitungen von e-Funktionen===
	Wir bilden die Ableitungen von		Wir bilden die Ableitungen von <math>f,g,h</math>:
	*f(x)=e^x		*<math>f(x)=e^x</math>
			**<math>f'(x)=e^x</math>
			**<math>f''(x)=e^x</math>
			*<math>g(x)=e^x-3x^2+3</math>
			**<math>g'(x)=e^x-6x</math>
			**<math>g''(x)=e^x-6</math>
			*<math>h(x)=(-2)e^x-3x^4+3x</math>
			**<math>h'(x)=(-2)e^x-12x^3+3</math>
			**<math>h''(x)=e^x-36x^2</math>

	[[Kategorie:Mathematische Funktion]]		[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

2024-09-06T10:20:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2024, 12:20 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	Wir bilden die Ableitungen von		Wir bilden die Ableitungen von
	*f(x)=e^x		*f(x)=e^x

			[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
			[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

2024-09-05T09:05:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2024, 11:05 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	==Definition==		==Definition==
	Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>.		Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>.

			==Beispiele==
			===Ableitungen von e-Funktionen===
			Wir bilden die Ableitungen von
			*f(x)=e^x

2024-09-05T08:47:24Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2024, 10:47 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:

	==Definition==		==Definition==
	Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung <math>f'(x)=e^x</math>.		Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>.

2024-09-05T08:46:47Z

Euler'sche Zahl e

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2024, 10:46 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	==Euler'sche Zahl e==		==Euler'sche Zahl e==
	Die Euler'sche Zahl ist <math>e \approx 2,71828...</math>.		Die '''Euler'sche Zahl''' ist <math>e \approx 2,71828...</math>.

	==Herleitung der Euler'schen Zahl e==		==Herleitung der Euler'schen Zahl e==

2024-09-05T08:46:32Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2024, 10:46 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:

	==Definition==		==Definition==
	Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion.		Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung <math>f'(x)=e^x</math>.

2024-09-05T08:46:07Z

Herleitung der Euler'schen Zahl e

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2024, 10:46 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	<math>a \approx \sqrt[h]{h+1} </math>		<math>a \approx \sqrt[h]{h+1} </math>

	Lassen wir <math>h</math> gegen 0 laufen, erhalten wir <math>a \approx 2,71828... </math>.		Lassen wir <math>h</math> gegen 0 laufen, erhalten wir <math>a \approx 2,71828... </math>. Dies ist die Euler'sche Zahl <math>e</math>.

	~~Diese Zahl heißt~~ Euler'sche Zahl <math>e~~</math>. Die Funktion <math>f(x)=e^x</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung <math>f'(x)=e^x~~</math>.

	==Definition==		==Definition==
	Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion.		Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion.

2024-09-05T08:45:20Z

Euler'sche Zahl e

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2024, 10:45 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	==Euler'sche Zahl e==		==Euler'sche Zahl e==
	Die Euler'sche Zahl ist <math>e \approx 2,71828... </math>.		Die Euler'sche Zahl ist <math>e \approx 2,71828...</math>.

	==Herleitung der Euler'schen Zahl e==		==Herleitung der Euler'schen Zahl e==