Monotone Funktion - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Degressiv und Progressiv */

2024-09-27T06:20:33Z

Degressiv und Progressiv

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2024, 08:20 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	Eine Funktion		Eine Funktion
	* wächst '''degressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.		* wächst '''degressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.
	* ~~nimmmt~~ '''degressiv''' ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph linksgekrümmt verläuft.		* nimmt '''degressiv''' ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph linksgekrümmt verläuft.
	* wächst '''progressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph linkgsgekrümmt verläuft.		* wächst '''progressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph linkgsgekrümmt verläuft.
	* nimmmt '''progressiv''' ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.		* nimmmt '''progressiv''' ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.

Flbkwikiadmin: /* Degressiver und Progressiv */

2024-09-18T17:28:12Z

Degressiver und Progressiv

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2024, 19:28 Uhr
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	Wir sprechen auch von '''Links-''' oder '''Rechtskurven''' bzw. '''Rechts-''' oder '''Linkskrümmung'''.		Wir sprechen auch von '''Links-''' oder '''Rechtskurven''' bzw. '''Rechts-''' oder '''Linkskrümmung'''.

	==~~Degressiver~~ und Progressiv==		==Degressiv und Progressiv==
	Eine Funktion		Eine Funktion
	* wächst '''degressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.		* wächst '''degressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.

Flbkwikiadmin am 18. September 2024 um 17:27 Uhr

2024-09-18T17:27:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2024, 19:27 Uhr
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	Wir sprechen auch von '''Links-''' oder '''Rechtskurven''' bzw. '''Rechts-''' oder '''Linkskrümmung'''.		Wir sprechen auch von '''Links-''' oder '''Rechtskurven''' bzw. '''Rechts-''' oder '''Linkskrümmung'''.

			==Degressiver und Progressiv==
			Eine Funktion
			* wächst '''degressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.
			* nimmmt '''degressiv''' ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph linksgekrümmt verläuft.
			* wächst '''progressiv''', wenn die Funktion monoton steigt und der Graph linkgsgekrümmt verläuft.
			* nimmmt '''progressiv''' ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Flbkwikiadmin am 3. September 2024 um 16:55 Uhr

2024-09-03T16:55:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2024, 18:55 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:

	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
			[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

Flbkwikiadmin am 10. Juli 2024 um 10:43 Uhr

2024-07-10T10:43:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2024, 12:43 Uhr
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	Außerdem ist der [[Graph]] von <math>f</math> linksgekrümmt, da <math>f'</math> monoton steigt. Das erkennen wir daran, dass <math>f''(x)=2>0</math> ist.		Außerdem ist der [[Graph]] von <math>f</math> linksgekrümmt, da <math>f'</math> monoton steigt. Das erkennen wir daran, dass <math>f''(x)=2>0</math> ist.
	]
	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]

Flbkwikiadmin am 10. Juli 2024 um 10:43 Uhr

2024-07-10T10:43:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2024, 12:43 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:

	Außerdem ist der [[Graph]] von <math>f</math> linksgekrümmt, da <math>f'</math> monoton steigt. Das erkennen wir daran, dass <math>f''(x)=2>0</math> ist.		Außerdem ist der [[Graph]] von <math>f</math> linksgekrümmt, da <math>f'</math> monoton steigt. Das erkennen wir daran, dass <math>f''(x)=2>0</math> ist.
			]
	~~[[Kategorie:Mathematik]~~]
	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]

Flbkwikiadmin: /* Krümmung einer Funktion */

2024-07-09T08:07:17Z

Krümmung einer Funktion

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2024, 10:07 Uhr
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	* '''rechtsgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton fällt.		* '''rechtsgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton fällt.

	Wir sprechen auch von '''Links-''' oder '''Rechtskurven'''.		Wir sprechen auch von '''Links-''' oder '''Rechtskurven''' bzw. '''Rechts-''' oder '''Linkskrümmung'''.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Flbkwikiadmin: /* Krümmung einer Funktion */

2024-07-09T07:30:17Z

Krümmung einer Funktion

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2024, 09:30 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	* '''linksgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton steigt.		* '''linksgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton steigt.
	* '''rechtsgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton fällt.		* '''rechtsgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton fällt.

			Wir sprechen auch von '''Links-''' oder '''Rechtskurven'''.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „Wir analysieren im Folgenden den Verlauf der Graphen von Funktionen mit Hilfe der Ableitung. ==Definition== Eine Funktion $f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f$ heißt * '''monoton steigend''', wenn für alle $x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f$ mit $x_1 < x_2$ gilt, dass $f(x_1) \leq f(x_2)$ ist. * '''streng monoton steigend''', wenn für alle $x_1,x_2 \in \math…“$

2024-07-08T13:22:12Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Wir analysieren im Folgenden den Verlauf der Graphen von Funktionen mit Hilfe der Ableitung. ==Definition== Eine Funktion <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> heißt * '''monoton steigend''', wenn für alle <math>x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f</math> mit <math>x_1 < x_2</math> gilt, dass <math>f(x_1) \leq f(x_2)</math> ist. * '''streng monoton steigend''', wenn für alle <math>x_1,x_2 \in \math…“

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Wir analysieren im Folgenden den Verlauf der [[Graph|Graphen]] von [[Funktion|Funktionen]] mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion|Ableitung]].

==Definition==
Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> heißt
* '''monoton steigend''', wenn für alle <math>x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f</math> mit <math>x_1 < x_2</math> gilt, dass <math>f(x_1) \leq f(x_2)</math> ist.
* '''streng monoton steigend''', wenn für alle <math>x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f</math> mit <math>x_1 < x_2</math> gilt, dass <math>f(x_1) < f(x_2)</math> ist.
* '''monoton fallend''', wenn für alle <math>x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f</math> mit <math>x_1 < x_2</math> gilt, dass <math>f(x_1) \geq f(x_2)</math> ist.
* '''streng monoton fallend''', wenn für alle <math>x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f</math> mit <math>x_1 < x_2</math> gilt, dass <math>f(x_1) > f(x_2)</math> ist.
* '''monoton''', wenn sie monoton steigt oder fällt.
* '''streng monoton''', wenn sie streng monoton steigt oder fällt.

==Monotoniesatz==
Eine [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbare]] [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> ist
* '''monoton steigend''', wenn für alle <math>x \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>f'(x)\geq 0</math> ist.
* '''streng monoton steigend''', wenn für alle <math>x \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>f'(x)> 0</math> ist.
* '''monoton fallend''', wenn für alle <math>x \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>f'(x) \leq 0</math> ist.
* '''streng monoton fallend''', wenn für alle <math>x \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>f'(x)< 0</math> ist.

==Krümmung einer Funktion==
Die [[Funktion]] <math>f</math> sei an jedem Punkt <math>f</math> in einem Intervall <math>I \subseteq \mathbb{D}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]]. Der Graph von <math>f</math> ist auf <math>I</math>
* '''linksgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton steigt.
* '''rechtsgekrümmt''', falls die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in <math>I</math> monoton fällt.

==Beispiele==
===Monotonie einer linearen Funktion===
[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]
Die [[Funktion]] <math>f(x)=1,5x+0</math> ist für alle <math> x \in \mathbb{R}</math> streng monoton steigend, da <math>f'(x)=1,5>0</math> gilt. Außerdem ist für beliebige <math>x</math>-Werte die obige Definition für eine streng monoton steigende [[Funktion]] erfüllt. Beispielsweise gilt für <math>x_1=1</math> und <math>x_2=2</math>, dass <math>x_1=1<2=x_2</math> und <math>f(x_1)=f(1)=1,5<3=f(2)=f(x_2)</math> ist. Der [[Graph]] von <math>f</math> steigt folglich im kompletten [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]].

===Monotonie einer quadratischen Funktion===
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNormal.png|mini|Graph der [[Funktion]] <math>f(x)=x^2</math>]]
Die [[Funktion]] <math>f(x)=1,5x+0</math> ist für alle <math> x \in \mathbb{R}^{> 0}</math> streng monoton steigend und für alle <math> x \in \mathbb{R}^{< 0}</math> streng monoton fallend. Für die [[Ableitungsfunktion]] gilt <math>f'(x)=2x</math>. <math>f'</math> nimmt positive [[Funktion#Definition|Funktionswerte]] für positive <math>x</math>-Werte an und negative [[Funktion#Definition|Funktionswerte]] für negative <math>x</math>-Werte an.

Außerdem ist der [[Graph]] von <math>f</math> linksgekrümmt, da <math>f'</math> monoton steigt. Das erkennen wir daran, dass <math>f''(x)=2>0</math> ist.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]