Lineares Optimierungsproblem - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Beispiel */

2026-02-06T08:20:57Z

Beispiel

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:20 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	<div id="box_lop" class="jxgbox" style="width: 400px; height: 400px; margin-top:20px;"></div>		<div id="box_lop" class="jxgbox" style="width: 400px; height: 400px; margin-top:20px;"></div>
	<script type="text/javascript">		<script type="text/javascript">
	(function() {		(function () {
	var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box_lop', {		var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box_lop', {
	boundingbox: [-1, 9, 9, -1],		boundingbox: [-1, 9, 9, -1],
	axis: true,		axis: true,
	grid: true,		grid: true,
	showCopyright: false		showCopyright: false,
			defaultAxes: {
			x: {
			withLabel: true,
			name: 'x',
			label: { position: 'rt', offset: [-10, 15] }
			},
			y: {
			withLabel: true,
			name: 'y',
			label: { position: 'rt', offset: [10, -5] }
			}
			}
	});		});

	// ~~Nebenbedingungen~~		// Nebenbedingung: 2x + y = 8 -> y = -2x + 8
	// 2x + y = 8		var nb1 = board.create('functiongraph', [
	var nb1 = board.create('~~line~~', [~~[0,~~ 8~~], [4, 0]~~], {		function (x) { return -2 * x + 8; }
	~~straightFirst: false,~~		], {
	~~straightLast: false,~~
	strokeColor: 'red',		strokeColor: 'red',
	name: '2x + y = 8',		name: '2x + y = 8',
	withLabel: true		withLabel: true,
			label: { offset: [-60, 20] }
	});		});

	// x + 2y = 8		// Nebenbedingung: x + 2y = 8 -> y = -0.5x + 4
	var nb2 = board.create('~~line~~', [[0, 4~~], [8, 0]~~], {		var nb2 = board.create('functiongraph', [
	~~straightFirst: false,~~		function (x) { return -0.5 * x + 4; }
	~~straightLast: false,~~		], {
	strokeColor: 'blue',		strokeColor: 'blue',
	name: 'x + 2y = 8',		name: 'x + 2y = 8',
	withLabel: true		withLabel: true,
			label: { offset: [10, -20] }
	});		});

Zeile 94:		Zeile 107:
	[0, 0],		[0, 0],
	[4, 0],		[4, 0],
	[8/3, 8/3],		[8 / 3, 8 / 3],
	[0, 4]		[0, 4]
	], {		], {
Zeile 103:		Zeile 116:

	// Slider für Zielfunktion Z = 3x + 5y		// Slider für Zielfunktion Z = 3x + 5y
	var Z = board.create('slider', [[0.5, 8.2], [5.5, 8.2], [0, 0, 40]], {		var Z = board.create('slider', [[0.5, 8.6], [6.5, 8.6], [0, 0, 40]], {
	name: 'Z'		name: 'Z'
	});		});

	// ~~Zielfunktionsgerade~~: 3x + 5y = Z => y = (Z - 3x)/5		// Zielfunktion: 3x + 5y = Z -> y = (Z - 3x)/5
	board.create('~~line~~', [		board.create('functiongraph', [
	function () { return ~~-3 / 5; },~~		function (x) { return (Z.Value() - 3 * x) / 5; }
	~~function~~ (~~) { return~~ Z.Value() / 5; }
	], {		], {
	strokeColor: 'green',		strokeColor: 'green',

Flbkwikiadmin: /* Grafische Darstellung (JSXGraph) */

2026-02-06T08:18:38Z

Grafische Darstellung (JSXGraph)

@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
 :<math>Z = 3x + 5y \rightarrow \max</math>
 <html>
 <head>
-<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>
+    <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>
 </head>
 <body>
-<div id="lp1" style="width:400px;height:300px;"></div>
+    <div id="box_lop" class="jxgbox" style="width: 400px; height: 400px; margin-top:20px;"></div>
-<script>
+    <script type="text/javascript">
-var board = JXG.JSXGraph.initBoard('lp1',{
+        (function() {
- boundingbox:[-1,9,9,-1], axis:true, grid:true
+            var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box_lop', {
-});
+                boundingbox: [-1, 9, 9, -1],
-var g1 = board.create('line', [[0,8],[4,0]]);
+            // Nebenbedingungen
-var g2 = board.create('line', [[0,4],[8,0]]);
+            // 2x + y = 8
-board.create('text',[5,5,'Zulässiger Bereich']);
+            // x + 2y = 8
-</script>
+            var nb2 = board.create('line', [[0, 4], [8, 0]], {
 </body>
 </html>

Flbkwikiadmin: /* Beispiel (Gewinnmaximierung) */

2026-02-06T08:16:30Z

Beispiel (Gewinnmaximierung)

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:16 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	* Untersuchung der Eckpunkte (vgl. [[Eckpunktberechnungsmethode]])		* Untersuchung der Eckpunkte (vgl. [[Eckpunktberechnungsmethode]])

	== Beispiel ~~(Gewinnmaximierung)~~ ==		== Beispiel==
	Ein Unternehmen produziert zwei Produkte:		Ein Unternehmen produziert zwei Produkte:

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2026-02-06T08:15:43Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:15 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	* '''Maximierungsprobleme''' (z. B. Maximierung von Gewinn oder Deckungsbeitrag)		* '''Maximierungsprobleme''' (z. B. Maximierung von Gewinn oder Deckungsbeitrag)
	* '''Minimierungsprobleme''' (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)		* '''Minimierungsprobleme''' (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)


	Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion		Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion

Flbkwikiadmin: /* Allgemeine Form */

2026-02-06T08:15:37Z

Allgemeine Form

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:15 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	* '''Minimierungsprobleme''' (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)		* '''Minimierungsprobleme''' (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)

	~~=== Allgemeine Form ===~~
	Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion		Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion
	:<math>Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n</math>		:<math>Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n</math>

Flbkwikiadmin am 6. Februar 2026 um 08:15 Uhr

2026-02-06T08:15:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:15 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	~~= Lineares Optimierungsproblem =~~

	== Definition ==		== Definition ==

Flbkwikiadmin am 6. Februar 2026 um 08:15 Uhr

2026-02-06T08:15:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:15 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			= Lineares Optimierungsproblem =

	== Definition ==		== Definition ==
	Ein '''~~Lineares~~ Optimierungsproblem''' ~~ist eine mathematische Aufgabenstellung, bei der eine lineare~~ Zielfunktion ~~unter Berücksichtigung~~ von ~~linearen~~ Nebenbedingungen (~~Einschränkungen~~) ~~optimiert werden soll~~.		Ein '''lineares Optimierungsproblem''' besteht aus einer '''Zielfunktion''' und einem System von '''einschränkenden Bedingungen''' (Nebenbedingungen), die alle linear sind.

			Man unterscheidet:

			* '''Maximierungsprobleme''' (z. B. Maximierung von Gewinn oder Deckungsbeitrag)
			* '''Minimierungsprobleme''' (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)

			=== Allgemeine Form ===
			Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion
			:<math>Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n</math>

	~~Ein Lineares Optimierungsproblem besteht aus drei Hauptkomponenten~~:		unter den Nebenbedingungen
	~~# '''Zielfunktion''': Eine Funktion, deren Wert entweder maximiert (z. B. [[Gewinnfunktion]] oder [[Erlösfunktion]]) oder minimiert (z. B. [[Kostenfunktion]]) werden soll.~~		:<math>
	# '''Bedingungssystem (Nebenbedingungen)''': Ein System von linearen Ungleichungen, das die verfügbaren Ressourcen wie Maschinenkapazitäten, Materialvorräte oder Arbeitszeit beschreibt (siehe auch [[Kapazitätsgrenze]]).		\begin{aligned}
	~~# '''Nichtnegativitätsbedingungen (NNB)''': Da in wirtschaftlichen Kontexten keine negativen Mengen produziert werden können, muss für alle Entscheidungsvariablen gelten:~~ \~~(x_i~~ \~~ge 0~~\).		a_{11}x_1 + a_{12}x_2 &\le b_1\\
			a_{21}x_1 + a_{22}x_2 &\le b_2\\
			\vdots
			\end{aligned}
			</math>

	~~Es wird unterschieden zwischen:~~		sowie den '''Nichtnegativitätsbedingungen'''
	* '''~~Maximierungsproblem~~'''~~: Ziel ist das Erreichen des höchsten Wertes (z. B. Deckungsbeitragsmaximierung).~~		:<math>x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0,\; \dots</math>
	* '''Minimierungsproblem''': ~~Ziel ist das Erreichen des geringsten Wertes (z. B. Kostenminimierung beim Einsatzproblem).~~

	~~== Modellierung ökonomischer Prozesse ==~~		Die Menge aller zulässigen Lösungen heißt '''zulässiger Bereich'''.
	~~Um ein reales Problem mathematisch abzubilden, werden Entscheidungsvariablen definiert (z. B. \(x_1\) für Produkt A, \(x_2\) für Produkt B).~~ Die sprachlichen Informationen werden dann in ein mathematisches Modell übersetzt, das oft die Form eines [[Lineares Gleichungssystem\|linearen Systems]] annimmt, jedoch mit Ungleichungen statt Gleichungen.

	== ~~Beispiel~~ ==		== Ökonomische Interpretation ==
	~~Die '''Modellwerk Ruhr GmbH''' produziert zwei Spielzeugmodelle~~:		* Zielfunktion: [[Gewinnfunktion]] oder Erlösfunktion
	* ~~'''Kran'''~~: ~~40 € Deckungsbeitrag~~ (DB) ~~pro Stück.~~		* Nebenbedingungen: Kapazitätsgrenzen (vgl. [[Kapazitätsgrenze]])
	* ~~'''Lok'''~~: ~~50 € DB pro Stück.~~		* Variablen: Produktionsmengen

	~~Die Produktion ist durch~~ zwei ~~Abteilungen begrenzt:~~		== Grafische Lösung ==
	~~# Holzbearbeitung: \(2x_1 + 1x_2 \le 100\) Stunden~~		Bei zwei Entscheidungsvariablen kann das Problem grafisch gelöst werden:
	~~# Endmontage: \(1x_1 + 2x_2 \le 80\) Stunden~~
	~~# NNB~~: ~~\(x_1, x_2 \ge 0\)~~

	~~Die Zielfunktion lautet: \~~(~~z = 40x_1 + 50x_2 \rightarrow \text{max!}\~~)		* Zeichnen der Nebenbedingungen als Geraden (vgl. [[Lineare Funktion]])
			* Bestimmung des zulässigen Bereichs
			* Untersuchung der Eckpunkte (vgl. [[Eckpunktberechnungsmethode]])

			== Beispiel (Gewinnmaximierung) ==
			Ein Unternehmen produziert zwei Produkte:

			* Gewinn pro Stück A: 3 GE
			* Gewinn pro Stück B: 5 GE

			Nebenbedingungen:
			:<math>
			\begin{aligned}
			2x + y &\le 8\\
			x + 2y &\le 8\\
			x,y &\ge 0
			\end{aligned}
			</math>

			Zielfunktion:
			:<math>Z = 3x + 5y \rightarrow \max</math>

			=== Grafische Darstellung (JSXGraph) ===
	<html>		<html>
	<head>		<head>
	<script ~~type="text/javascript"~~ src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>		<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>
	~~<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraph.css" /~~>
	</head>		</head>
	<body>		<body>
	<div id="~~box_lop" class="jxgbox~~" style="width: 400px; height: ~~400px; margin-top:20px~~;"></div>		<div id="lp1" style="width:400px;height:300px;"></div>
	<script ~~type="text/javascript"~~>		<script>
	~~(function() {~~		var board = JXG.JSXGraph.initBoard('lp1',{
	var board = JXG.JSXGraph.initBoard('~~box_lop~~', {		boundingbox:[-1,9,9,-1], axis:true, grid:true
	boundingbox: [-10, ~~110~~, ~~110~~, -10],		});
	axis: true,
	~~showCopyright~~: ~~false~~		var g1 = board.create('line', [[0,8],[4,0]]);
	});		var g2 = board.create('line', [[0,4],[8,0]]);
	var f1 = board.create('line', [[0, ~~100~~], [50, 0]]~~, {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'red', name:'Holz', withLabel:true}~~);
	var f2 = board.create('line', [[0, 40], [80, 0]]~~, {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'blue', name:'Montage', withLabel:true}~~);		board.create('text',[5,5,'Zulässiger Bereich']);
	~~board.create('polygon', [[0,0], [50,0], [40,20], [0,40]], {fillColor: '#0055aa', fillOpacity: 0.2, borders: {visible: false}});~~		</script>
	~~var k =~~ board.create('~~slider~~', [~~[10, 90], [60, 90], [0~~, 0, ~~3000]], {name: 'DB'});~~
	~~board.create(~~'~~line~~'~~, [function(){ return -k.Value(); }, 40, 50~~]~~, {strokeColor: 'green', dash: 2, name: 'Zielfunktion', withLabel: true});~~
	~~})(~~);
	</script>
	</body>		</body>
	</html>		</html>

			== Zusammenhang zu anderen Themen ==
			* Lösung von Gleichungssystemen: [[Lineares Gleichungssystem]]
			* Darstellung in Tabellenform: [[Matrix]]

	[[Kategorie:Lineare_Optimierung]]		[[Kategorie:Lineare_Optimierung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin am 6. Februar 2026 um 08:01 Uhr

2026-02-06T08:01:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:01 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	Ein '''Lineares Optimierungsproblem''' ist eine mathematische Aufgabenstellung, bei der eine lineare Zielfunktion unter Berücksichtigung von linearen Nebenbedingungen (Einschränkungen) optimiert werden soll.		Ein '''Lineares Optimierungsproblem''' ist eine mathematische Aufgabenstellung, bei der eine lineare Zielfunktion unter Berücksichtigung von linearen Nebenbedingungen (Einschränkungen) optimiert werden soll.

	Ein ~~LOP~~ besteht aus drei Hauptkomponenten:		Ein Lineares Optimierungsproblem besteht aus drei Hauptkomponenten:
	# '''Zielfunktion''': Eine Funktion, deren Wert entweder maximiert (z. B. [[Gewinnfunktion]] oder [[Erlösfunktion]]) oder minimiert (z. B. [[Kostenfunktion]]) werden soll.		# '''Zielfunktion''': Eine Funktion, deren Wert entweder maximiert (z. B. [[Gewinnfunktion]] oder [[Erlösfunktion]]) oder minimiert (z. B. [[Kostenfunktion]]) werden soll.
	# '''Bedingungssystem (Nebenbedingungen)''': Ein System von linearen Ungleichungen, das die verfügbaren Ressourcen wie Maschinenkapazitäten, Materialvorräte oder Arbeitszeit beschreibt (siehe auch [[Kapazitätsgrenze]]).		# '''Bedingungssystem (Nebenbedingungen)''': Ein System von linearen Ungleichungen, das die verfügbaren Ressourcen wie Maschinenkapazitäten, Materialvorräte oder Arbeitszeit beschreibt (siehe auch [[Kapazitätsgrenze]]).

Flbkwikiadmin: /* Beispiel und Grafische Lösung */

2026-02-06T08:00:48Z

Beispiel und Grafische Lösung

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2026, 10:00 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	Um ein reales Problem mathematisch abzubilden, werden Entscheidungsvariablen definiert (z. B. \(x_1\) für Produkt A, \(x_2\) für Produkt B). Die sprachlichen Informationen werden dann in ein mathematisches Modell übersetzt, das oft die Form eines [[Lineares Gleichungssystem\|linearen Systems]] annimmt, jedoch mit Ungleichungen statt Gleichungen.		Um ein reales Problem mathematisch abzubilden, werden Entscheidungsvariablen definiert (z. B. \(x_1\) für Produkt A, \(x_2\) für Produkt B). Die sprachlichen Informationen werden dann in ein mathematisches Modell übersetzt, das oft die Form eines [[Lineares Gleichungssystem\|linearen Systems]] annimmt, jedoch mit Ungleichungen statt Gleichungen.

	== Beispiel ~~und Grafische Lösung~~ ==		== Beispiel ==
	Die '''Modellwerk Ruhr GmbH''' produziert zwei Spielzeugmodelle:		Die '''Modellwerk Ruhr GmbH''' produziert zwei Spielzeugmodelle:
	* '''Kran''': 40 € Deckungsbeitrag (DB) pro Stück.		* '''Kran''': 40 € Deckungsbeitrag (DB) pro Stück.

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „== Definition == Ein '''Lineares Optimierungsproblem''' ist eine mathematische Aufgabenstellung, bei der eine lineare Zielfunktion unter Berücksichtigung von linearen Nebenbedingungen (Einschränkungen) optimiert werden soll. Ein LOP besteht aus drei Hauptkomponenten: # '''Zielfunktion''': Eine Funktion, deren Wert entweder maximiert (z. B. Gewinnfunktion oder Erlösfunktion) oder minimiert (z. B. Kostenfunktion) werden soll. # '''Bedingungs…“

2026-02-06T07:59:53Z

Die Seite wurde neu angelegt: „== Definition == Ein '''Lineares Optimierungsproblem''' ist eine mathematische Aufgabenstellung, bei der eine lineare Zielfunktion unter Berücksichtigung von linearen Nebenbedingungen (Einschränkungen) optimiert werden soll. Ein LOP besteht aus drei Hauptkomponenten: # '''Zielfunktion''': Eine Funktion, deren Wert entweder maximiert (z. B. Gewinnfunktion oder Erlösfunktion) oder minimiert (z. B. Kostenfunktion) werden soll. # '''Bedingungs…“

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== Definition ==
Ein '''Lineares Optimierungsproblem''' ist eine mathematische Aufgabenstellung, bei der eine lineare Zielfunktion unter Berücksichtigung von linearen Nebenbedingungen (Einschränkungen) optimiert werden soll.

Ein LOP besteht aus drei Hauptkomponenten:
# '''Zielfunktion''': Eine Funktion, deren Wert entweder maximiert (z. B. [[Gewinnfunktion]] oder [[Erlösfunktion]]) oder minimiert (z. B. [[Kostenfunktion]]) werden soll.
# '''Bedingungssystem (Nebenbedingungen)''': Ein System von linearen Ungleichungen, das die verfügbaren Ressourcen wie Maschinenkapazitäten, Materialvorräte oder Arbeitszeit beschreibt (siehe auch [[Kapazitätsgrenze]]).
# '''Nichtnegativitätsbedingungen (NNB)''': Da in wirtschaftlichen Kontexten keine negativen Mengen produziert werden können, muss für alle Entscheidungsvariablen gelten: \(x_i \ge 0\).

Es wird unterschieden zwischen:
* '''Maximierungsproblem''': Ziel ist das Erreichen des höchsten Wertes (z. B. Deckungsbeitragsmaximierung).
* '''Minimierungsproblem''': Ziel ist das Erreichen des geringsten Wertes (z. B. Kostenminimierung beim Einsatzproblem).

== Modellierung ökonomischer Prozesse ==
Um ein reales Problem mathematisch abzubilden, werden Entscheidungsvariablen definiert (z. B. \(x_1\) für Produkt A, \(x_2\) für Produkt B). Die sprachlichen Informationen werden dann in ein mathematisches Modell übersetzt, das oft die Form eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Systems]] annimmt, jedoch mit Ungleichungen statt Gleichungen.

== Beispiel und Grafische Lösung ==
Die '''Modellwerk Ruhr GmbH''' produziert zwei Spielzeugmodelle:
* '''Kran''': 40 € Deckungsbeitrag (DB) pro Stück.
* '''Lok''': 50 € DB pro Stück.

Die Produktion ist durch zwei Abteilungen begrenzt:
# Holzbearbeitung: \(2x_1 + 1x_2 \le 100\) Stunden
# Endmontage: \(1x_1 + 2x_2 \le 80\) Stunden
# NNB: \(x_1, x_2 \ge 0\)

Die Zielfunktion lautet: \(z = 40x_1 + 50x_2 \rightarrow \text{max!}\)

<html>
<head>
<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraph.css" />
</head>
<body>
<div id="box_lop" class="jxgbox" style="width: 400px; height: 400px; margin-top:20px;"></div>
<script type="text/javascript">
(function() {
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box_lop', {
boundingbox: [-10, 110, 110, -10],
axis: true,
showCopyright: false
});
var f1 = board.create('line', [[0, 100], [50, 0]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'red', name:'Holz', withLabel:true});
var f2 = board.create('line', [[0, 40], [80, 0]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'blue', name:'Montage', withLabel:true});
board.create('polygon', [[0,0], [50,0], [40,20], [0,40]], {fillColor: '#0055aa', fillOpacity: 0.2, borders: {visible: false}});
var k = board.create('slider', [[10, 90], [60, 90], [0, 0, 3000]], {name: 'DB'});
board.create('line', [function(){ return -k.Value(); }, 40, 50], {strokeColor: 'green', dash: 2, name: 'Zielfunktion', withLabel: true});
})();
</script>
</body>
</html>

[[Kategorie:Lineare_Optimierung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]