Lineares Gleichungssystem - Versionsgeschichte

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2026-05-27T08:00:58Z

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	Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z.B. bei Produktionsplanung, Kostenrechnung oder Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix\|Matrizen]] dargestellt und gelöst.		Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z. B. bei der Produktionsplanung, Kostenrechnung oder in Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix\|Matrizen]] dargestellt und algorithmisch gelöst.

	== Definition ==		== Definition ==
	Ein '''lineares Gleichungssystem''' mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die Form		Ein '''lineares Gleichungssystem''' mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die allgemeine Form:
	:<math>		:<math>
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
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	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	mit Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und rechten ~~Seiten~~ <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.		mit den Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und den Werten der rechten Seite <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.

	Die '''Matrizengleichung''' des Systems lautet		Die '''Matrizengleichung''' des Systems lautet:
	:<math>		:<math>
	A \cdot x = b		A \cdot x = b
	</math>,		</math>
	wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. ~~Die~~ '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' ~~lautet~~ <math>(A\|b)</math> ~~und~~ wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|~~Gauß'schen~~ Eliminationsverfahren]] ~~in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|Zeilenstufenform]] gebracht~~, ~~zum~~ die Lösung zu ermitteln.		wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor (rechte Seite) ist.

			Koppelt man die Matrix <math>A</math> mit dem Vektor <math>b</math>, erhält man die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' <math>(A\|b)</math>. Diese wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gaußschen Eliminationsverfahren]] umgeformt, um die Lösung des Systems zu ermitteln.

	== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==		== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==
	* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt, also <math>A \cdot x = 0</math>. Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math>.		* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt (der Vektor der rechten Seite besteht nur aus Nullen), also <math>A \cdot x = 0</math>. Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math> (alle Unbekannten sind Null).
	* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt. Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.		* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt (mindestens ein Wert auf der rechten Seite ist ungleich Null). Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.

	== Lösungskriterien ==		== Lösungskriterien (Satz von Kronecker-Capelli) ==
	Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang\|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A\|b)~~</math> mit <math>b \in \mathbb{R}^{m}~~</math> ab:		Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang\|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A\|b)</math> ab:
	* Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b)</math>.		* Das System ist generell '''lösbar''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b)</math>.
	* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> ~~gilt~~.		* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> (wobei <math>n</math> die Anzahl der Unbekannten ist).
	* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b) < n</math>.		* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b) < n</math>. In diesem Fall werden die Lösungen häufig in Abhängigkeit von einem oder mehreren '''Parametern''' angegeben.
	* Es gibt '''keine Lösung''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A\|b)</math>.		* Es gibt '''keine Lösung''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A\|b)</math> (meist bedeutet dies <math>\operatorname{rang}(A) < \operatorname{rang}(A\|b)</math>).

	~~Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von~~ '''~~Parametern~~''' ~~dargestellt~~.		== Zeilenstufenform ==
			In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile der Matrix die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine (Stufenbildung). Unterhalb der Stufen (führende Koeffizienten bzw. Pivotelemente) stehen ausschließlich Nullen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mithilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren\|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] in diese Form gebracht werden.

	~~==Zeilenstufenform==~~		Sind darüber hinaus alle Pivotelemente auf den Wert 1 normiert und stellen sie in ihrer jeweiligen Spalte den einzigen von Null verschiedenen Eintrag dar, spricht man von der '''reduzierten Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den erweiterten [[Gaußsches_Eliminationsverfahren\|Gauß-Jordan-Algorithmus]].
	~~In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch~~ in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von '''~~reduzierter~~ Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den [[Gaußsches_Eliminationsverfahren~~#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems~~\|Gauß-Jordan-Algorithmus]].

	== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==		== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==
	In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur		In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur:
	* Produktions- und Kapazitätsplanung,		* Produktions- und Kapazitätsplanung (z. B. optimale Ressourcenauslastung),
	* Kosten- und Erlösrechnung,		* innerbetrieblichen Kosten- und Erlösrechnung (z. B. Verteilung von Gemeinkosten),
	* Analyse von Stoff- und Warenströmen,		* Analyse von Stoff- und Warenströmen (Gozintograph),
	* Modellierung von Stücklisten und Produktionsprozessen.		* Modellierung von Stücklisten und mehrstufigen Produktionsprozessen.

	== Beispiele ==		== Beispiele ==
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	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen linear abhängig ~~sind~~.		Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die zweite Gleichung lediglich ein Vielfaches (das 2-fache) der ersten Gleichung ist. Die Gleichungen sind linear abhängig.

	=== Inhomogenes lineares Gleichungssystem ===		=== Inhomogenes lineares Gleichungssystem ===
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	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	Die eindeutige Lösung lautet <math>x_1 = 2</math>, <math>x_2 = 1</math>.		Die eindeutige Lösung dieses Systems lautet <math>x_1 = 2</math> und <math>x_2 = 1</math>. Geometrisch entspricht dies dem Schnittpunkt zweier Geraden im zweidimensionalen Raum.

			=== Betriebswirtschaftliches Beispiel (Kapazitätsplanung) ===
			Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt exakt 50 Einheiten gefertigt werden (unabhängig davon, wie sie sich auf Produkt 1 und 2 aufteilen).

	~~=== Betriebswirtschaftliches Beispiel ===~~		Das entsprechende LGS lautet:
	Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden.
	:<math>		:<math>
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	~~x_1~~ + ~~x_2~~ &= 50 \\		1x_1 + 1x_2 &= 50 \quad \text{(Mengenrestriktion)} \\
	2x_1 + 3x_2 &= 120		2x_1 + 3x_2 &= 120 \quad \text{(Kapazitätsrestriktion)}
	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	~~Die Lösung gibt an, wie viele~~ Einheiten ~~der beiden Produkte~~ gefertigt werden ~~können~~.
			Das Lösen dieses Systems liefert das Ergebnis <math>x_1 = 30</math> und <math>x_2 = 20</math>.
			'''Antwort:''' Es können exakt 30 Einheiten von Produkt 1 und 20 Einheiten von Produkt 2 gefertigt werden, um die Maschinenkapazität vollständig auszulasten.

	[[Kategorie:Lineare_Algebra]]		[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin: /* Zeilenstufenform */

2026-02-03T09:24:59Z

Zeilenstufenform

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	==Zeilenstufenform==		==Zeilenstufenform==
	In der Zeilenstufenform verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von reduzierter Zeilenstufenform. Hierfür verwendet man den [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß-Jordan-Algorithmus]].		In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von '''reduzierter Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß-Jordan-Algorithmus]].

	== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==		== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==

Flbkwikiadmin: /* Zeilenstufenform */

2026-02-03T09:23:29Z

Zeilenstufenform

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2026, 11:23 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:

	==Zeilenstufenform==		==Zeilenstufenform==
	In der Zeilenstufenform verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von reduzierter Zeilenstufenform.		In der Zeilenstufenform verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von reduzierter Zeilenstufenform. Hierfür verwendet man den [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß-Jordan-Algorithmus]].

	== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==		== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==

Flbkwikiadmin: /* Zeilenstufenform */

2026-02-03T09:22:27Z

Zeilenstufenform

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2026, 11:22 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:

	==Zeilenstufenform==		==Zeilenstufenform==
	In der Zeilenstufenform verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden.		In der Zeilenstufenform verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von reduzierter Zeilenstufenform.

	== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==		== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==

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2026-02-02T07:30:27Z

Definition

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	A \cdot x = b		A \cdot x = b
	</math>,		</math>,
	wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in [[Zeilenstufenform]] gebracht, zum die Lösung zu ermitteln.		wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|Zeilenstufenform]] gebracht, zum die Lösung zu ermitteln.

	== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==		== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2026-02-02T07:29:48Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2026, 09:29 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	A \cdot x = b		A \cdot x = b
	</math>,		</math>,
	wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in [[~~Matrix#Zeilenstufenform\|~~Zeilenstufenform]] gebracht, zum die Lösung zu ermitteln.		wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in [[Zeilenstufenform]] gebracht, zum die Lösung zu ermitteln.

	== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==		== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==

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2026-02-02T07:29:06Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2026, 09:29 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	A \cdot x = b		A \cdot x = b
	</math>,		</math>,
	wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in ~~Zielenstufenform~~ gebracht, zum die Lösung zu ermitteln.		wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in [[Matrix#Zeilenstufenform\|Zeilenstufenform]] gebracht, zum die Lösung zu ermitteln.

	== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==		== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==

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2026-02-02T07:28:34Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2026, 09:28 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	A \cdot x = b		A \cdot x = b
	</math>,		</math>,
	wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math>.		wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. Die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' lautet <math>(A\|b)</math> und wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gauß'schen Eliminationsverfahren]] in Zielenstufenform gebracht, zum die Lösung zu ermitteln.

	== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==		== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==

Flbkwikiadmin am 28. Januar 2026 um 12:10 Uhr

2026-01-28T12:10:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Januar 2026, 14:10 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:

	Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von '''Parametern''' dargestellt.		Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von '''Parametern''' dargestellt.

			==Zeilenstufenform==
			In der Zeilenstufenform verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden.

	== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==		== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==

Flbkwikiadmin: /* Betriebswirtschaftliches Beispiel */

2026-01-28T12:02:45Z

Betriebswirtschaftliches Beispiel

← Nächstältere Version		Version vom 28. Januar 2026, 14:02 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	=== Betriebswirtschaftliches Beispiel ===		=== Betriebswirtschaftliches Beispiel ===
	Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden.		Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden.
	<math>		:<math>
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	x_1 + x_2 &= 50 \\		x_1 + x_2 &= 50 \\