Langfristige Preisuntergrenze - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades */

2025-12-03T13:32:56Z

Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades

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	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades===		===Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades===
	Die Kostenfunktion sei durch <math>K(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> mit <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0}</math> gegeben. Wir berechnen die Stückkosten durch <math>k(x)=\frac{K(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}=ax^2+bx+c+\frac{d}{x}</math>. Die Kostenfunktion lässt sich mit den Stückkosten durch <math>K(x)=k(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx+\frac{d}{x})\cdot x=ax^3+bx^2+cx+d</math> berechnen.		Die Kostenfunktion sei durch <math>K(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> mit <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0}</math> gegeben. Wir berechnen die Stückkosten durch <math>k(x)=\frac{K(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}=ax^2+bx+c+\frac{d}{x}=ax^2+bx+c+d\cdot x^{-1}</math>. Die Kostenfunktion lässt sich mit den Stückkosten durch <math>K(x)=k(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx+\frac{d}{x})\cdot x=ax^3+bx^2+cx+d</math> berechnen.

	===Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze graphisch ermitteln===		===Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze graphisch ermitteln===

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	[[Kategorie:Gewinnanalyse]]		[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
			[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2024-12-23T12:05:54Z

Definition

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	Es sei <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math> eine [[Kostenfunktion]] und <math>k</math> die dazugehörige Stückkostenfunktion. Die [[Extremwert#Definition\|Minimalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> der Stückkosten <math>k</math> nennen wir '''Betriebsoptimum'''. Das dazugehörige [[Extremwert#Definition\|Minimum]] <math>k(x_0)</math> heißt '''langfristige Preisuntergrenze'''.		Es sei <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math> eine [[Kostenfunktion]] und <math>k</math> die dazugehörige Stückkostenfunktion. Die [[Extremwert#Definition\|Minimalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> der Stückkosten <math>k</math> nennen wir '''Betriebsoptimum'''. Das dazugehörige [[Extremwert#Definition\|Minimum]] <math>k(x_0)</math> heißt '''langfristige Preisuntergrenze'''.

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	==Gewinn im Betriebsoptimum==		==Gewinn im Betriebsoptimum==

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	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:Gewinnanalyse]]		[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:Gewinnanalyse]]		[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „Um Marktanteile zurückzugewinnen bzw. mehr Einheiten eines Produkts zu verkaufen, wird der Verkaufspreis für das Produkt gesenkt. Die langfristige Preisuntergrenze ist der Verkaufspreis, bei dem wir einen Gewinn von 0 GE erzielen. Dieser Verkaufspreis kann langfristig gehalten werden, da der Erlös die Kosten deckt. Die dazugehörige Produktionsmenge ist das Betriebsoptimum. ==Stückkostenfunktion== Gegeben sei eine Kostenfunktion $K: \mathbb{…“$

2024-07-13T08:31:34Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Um Marktanteile zurückzugewinnen bzw. mehr Einheiten eines Produkts zu verkaufen, wird der Verkaufspreis für das Produkt gesenkt. Die langfristige Preisuntergrenze ist der Verkaufspreis, bei dem wir einen Gewinn von 0 GE erzielen. Dieser Verkaufspreis kann langfristig gehalten werden, da der Erlös die Kosten deckt. Die dazugehörige Produktionsmenge ist das Betriebsoptimum. ==Stückkostenfunktion== Gegeben sei eine Kostenfunktion <math>K: \mathbb{…“

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Um Marktanteile zurückzugewinnen bzw. mehr Einheiten eines Produkts zu verkaufen, wird der Verkaufspreis für das Produkt gesenkt. Die langfristige Preisuntergrenze ist der Verkaufspreis, bei dem wir einen Gewinn von 0 GE erzielen. Dieser Verkaufspreis kann langfristig gehalten werden, da der Erlös die Kosten deckt. Die dazugehörige Produktionsmenge ist das Betriebsoptimum.

==Stückkostenfunktion==
Gegeben sei eine [[Kostenfunktion]] <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math>. Dann nennen wir <math>k(x)=\frac{K(x)}{x}</math> '''Stückkostenfunktion''' oder '''Stückkosten'''. Die [[Kostenfunktion]] berechnet sich durch <math>K(x)=k(x)\cdot x</math>. <math>x</math> ist in ME, <math>K(x)</math> in GE und <math>k_v(x)</math> in GE pro ME gegeben.

==Definition==
Es sei <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math> eine [[Kostenfunktion]] und <math>k</math> die dazugehörige Stückkostenfunktion. Die [[Extremwert#Definition|Minimalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> der Stückkosten <math>k</math> nennen wir '''Betriebsoptimum'''. Das dazugehörige [[Extremwert#Definition|Minimum]] <math>k(x_0)</math> heißt '''langfristige Preisuntergrenze'''.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/x8k9v9Dg7yY?si=WH-RKwNoiQjw5YD9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

==Gewinn im Betriebsoptimum==
Ist der Verkaufspreis für ein Produkt die langfristige Preisuntergrenze und wird das Betriebsoptimum an Mengeneinheiten verkauft, decken sich die Kosten und der Erlös und es fällt ein Gewinn von 0 Geldeinheiten an. Der Preis kann damit langfristig, also auf Dauer gehalten werden.

==Beispiele==
===Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades===
Die Kostenfunktion sei durch <math>K(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> mit <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0}</math> gegeben. Wir berechnen die Stückkosten durch <math>k(x)=\frac{K(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}=ax^2+bx+c+\frac{d}{x}</math>. Die Kostenfunktion lässt sich mit den Stückkosten durch <math>K(x)=k(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx+\frac{d}{x})\cdot x=ax^3+bx^2+cx+d</math> berechnen.

===Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze graphisch ermitteln===
[[Datei:DifferentialrechnungBoptBmin.png|mini|Graphen der Kostenfunktion, Stückkostenfunktion und variabler Stückkostenfunktion zu <math>K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10</math>]]
Bei den folgenden Werten wurde gerundet. Der Punkt <math>A(3,48|6,17)</math> ist [[Extremwert#Definition|Tiefpunkt]] von <math>k</math> und damit ist das Betriebsoptimum bei ca. <math>3,48~ME</math> und die langfristige Preisuntergrenze bei ca. <math>6,17~ \frac{GE}{ME}</math>.

===Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze berechnen===
Die Gesamtkostenfunktion für ein Produkt sei durch <math>K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10</math> gegeben. <math>x</math> ist in ME und <math>K(x)</math> in GE.

Wir berechnen die Stückkosten <math>k(x)=\frac{x^3-6,125x^2+12,5x+10}{x}=x^2-6,125x+12,5+\frac{10}{x}=x^2-6,125x+12,5+10x^{-1}</math> mit <math>k'(x)=2x-6,125-10x^{-2}=2x-6,125-\frac{10}{x^2}</math> und <math>k''(x)=2+20x^{-3}=2+\frac{20}{x^3}</math>.

#'''Notwendige Bedingung:''' <math>k'(x)=0</math> <math>2x-6,125-\frac{10}{x^2}=0~|~\cdot x^2</math> <math>2x^3-6,125x^2-10=0</math> Lösen mit dem Taschenrechner ergibt <math>xx \approx 3,48</math>
#'''Hinreichende Bedingung:''' <math>k''(3,48)=2+\frac{20}{3,48^3}\approx 2,48 >0</math>, daher beträgt das '''Betriebsoptimum''' <math>x\approx 3,48</math> ME.
#'''Funktionswert ermitteln:''' <math>k(3,48)=3,48^2-6,125 \cdot 3,48 +12,5+\frac{10}{3,48} \approx 6,17 \frac{GE}{ME}</math> ist die '''langfristige Preisuntergrenze'''.

===Gewinn im Betriebsoptimum ermitteln===
Wir führen das vorherige Beispiel fort. Die langfristige Preisuntergrenze ist der neue Verkaufspreis für das Produkt. Damit ist die [[Erlösfunktion]] <math>E(x)=6,17x</math>. Die [[Gewinnfunktion]] ist dann <math>G(x)=E(x)-K(x)=6,17x-(x^3-6,125x^2+12,5x+10)=6,17x-x^3+6,125x^2-12,5x-10=-x^3+6,125x^2-6,33x-10</math>. Produzieren wir das Betriebsoptimum, also <math>x\approx 3,48</math> ME, beträgt der Gewinn <math>G(3,48)=-(3,48)^3+6,125 \cdot 3,48^2-6,33 \cdot 3,48-10 \approx 0</math> GE.

[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:Fachabitur]]