Kombinatorik - Versionsgeschichte

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	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

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	==~~==Kombinatorik==~~==		==Definition==
	Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der ~~Anzahl~~ der ~~möglichen Anordnungen~~ bei einem ~~Versuch~~, ~~wobei sie unterscheidet~~, ob die Reihenfolge von Bedeutung ist oder nicht und ob Wiederholungen (Zurücklegen) zugelassen werden oder nicht.		Die '''Kombinatorik''' beschäftigt sich mit der Untersuchung von endlichen oder abzählbar unendlichen Mengen und ihren Strukturen. Sie befasst sich insbesondere mit der Frage, wie viele verschiedene Möglichkeiten es bei einem [[Zufallsexperiment]] gibt, bestimmte Anordnungen oder Auswahlen zu treffen. Dabei wird unterschieden, ob die Reihenfolge von Bedeutung ist oder nicht und ob Wiederholungen (Zurücklegen) zugelassen werden oder nicht.

	Es sei <math>e=(e_1;e_2;...;e_k)</math> für <math>k\in\mathbb{N}</math> das Ergebnis eines k-stufigen Versuchs. Es gilt <math>{e_i\in{f}_1;...,f_n}</math> für <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>n\geq k</math> mit <math>0 \le i \leq k</math>. D. h. es werden k-Elemente aus einer Menge von n Elementen gezogen.

	~~1. Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen~~		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ixJUp2hexgM?si=zEGIluSAL2Z0XIrR" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	~~Bei jeder Stufe kann~~ <~~math~~>~~e_i~~<~~/math> genau einen der Werte <math>f_1,~~.~~..,f_n<~~/~~math> annehmen. Insgesamt gibt es also <math>n\cdot ...\cdot n=n^k<~~/~~math> mögliche Ergebnisse~~.

	2. ~~Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen~~

	~~<math>e_1<~~/~~math> kann n unterschiedliche Werte annehmen. <math>e_2<~~/~~math> kann dann nur noch n-1 unterschiedliche Werte annehmen und so weiter. Damit gibt es <math>n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)~~=~~\frac{n\cdot\left(n~~-~~1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n~~-~~k\right)\cdot\ldots\cdot1}{\left(n~~-~~k\right)\cdot\left(n~~-k-~~1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}~~</~~math~~> ~~mögliche Ergebnisse.~~

	3. ~~Ohne Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen~~		==Fakultät==
			Es sei <math>k</math> eine ganze Zahl, dann heißt <math>k!=k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdot ... \cdot 1</math> die '''Fakultät''' von <math>k</math>.

	<math>\binom{n+k-1}{k}</math> ~~wird zur Vollständigkeit erwähnt!~~		==Binomialkoeffizient==
			Für ganze Zahlen <math>0 \leq k \leq n</math> ist der '''Binomialkoeffizient''' durch
	4. ~~Ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen~~		<math>
			\begin{align}
			\binom nk &= \frac{n!}{k!(n-k)!}
			\end{align}
			</math>
			definiert. Für <math>k > n</math> setzen wir <math>\binom nk := 0</math>.

	<math>e_1</math> ~~kann n unterschiedliche Werte annehmen.~~ <math>~~e_2~~</math> ~~kann dann nur noch n~~-~~1 unterschiedliche Werte annehmen und so weiter~~. ~~Unter diesen~~ <math>n\~~cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)~~</math> ~~Möglichkeiten gibt es~~ <math>k\~~cdot~~\~~left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot 1~~</math> ~~so viele, verschiedene Reihenfolgen für e~~, ~~die zum gleichen Ergebnis führen. Insgesamt gibt es also~~ <math>~~\frac{~~n\~~cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-~~k~~+1\right)}{\left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)\cdot\left(n-k\right)\cdot\ldots\cdot1}{\left(n-k\right)\cdot\ldots~~\~~cdot1~~\~~cdot\left(~~k~~-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}=\binom{n}{k}~~</math>.		==Anzahl möglicher Ergebnisse bei einem Zufallsexperiment ermitteln==
			Es sei <math>e=(e_1;e_2;...;e_k)</math> für <math>k\in\mathbb{N}</math> das Ergebnis eines k-stufigen Zufallsexperiments. Es gilt <math>{e_i\in{f}_1;...,f_n}</math> für <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>n\geq k</math> mit <math>0 \le i \leq k</math>. D. h. es werden k-Elemente aus einer Menge von n Elementen gezogen.

	~~Für~~ <math>\~~binom~~{n}{k}</math> ~~sagen wir „n über k“~~. ~~Für~~ <math>n!</math> ~~sagen wir „n~~-~~Fakultät“~~.		#'''Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen''' <br>Bei jeder Stufe kann <math>e_i</math> genau einen der Werte <math>f_1,...,f_n</math> annehmen. Insgesamt gibt es also <math>n\cdot ...\cdot n=n^k</math> mögliche Ergebnisse.
			#'''Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen'''<br><math>e_1</math> kann n unterschiedliche Werte annehmen. <math>e_2</math> kann dann nur noch n-1 unterschiedliche Werte annehmen und so weiter. Damit gibt es <math>n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)=\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k\right)\cdot\ldots\cdot1}{\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}</math> mögliche Ergebnisse.
	<~~html~~><~~iframe width="280" height="157.5" src="https:~~//~~www~~.~~youtube.com/embed/ixJUp2hexgM?si~~=~~zEGIluSAL2Z0XIrR" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard~~-~~write; encrypted~~-~~media; gyroscope; picture~~-in-~~picture; web~~-~~share" allowfullscreen>~~</~~iframe></html~~>		#'''Ohne Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen'''<br><math>\binom{n+k-1}{k}</math> wird zur Vollständigkeit erwähnt!
			#'''Ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen'''<br><math>e_1</math> kann n unterschiedliche Werte annehmen. <math>e_2</math> kann dann nur noch n-1 unterschiedliche Werte annehmen und so weiter. Unter diesen <math>n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)</math> Möglichkeiten gibt es <math>k\cdot\left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot 1</math> so viele, verschiedene Reihenfolgen für e, die zum gleichen Ergebnis führen. Insgesamt gibt es also <math>\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)}{\left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)\cdot\left(n-k\right)\cdot\ldots\cdot1}{\left(n-k\right)\cdot\ldots\cdot1\cdot\left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}=\binom{n}{k}</math>.

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

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Die Seite wurde neu angelegt: „====Kombinatorik==== Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anzahl der möglichen Anordnungen bei einem Versuch, wobei sie unterscheidet, ob die Reihenfolge von Bedeutung ist oder nicht und ob Wiederholungen (Zurücklegen) zugelassen werden oder nicht. Es sei <math>e=(e_1;e_2;...;e_k)</math> für <math>k\in\mathbb{N}</math> das Ergebnis eines k-stufigen Versuchs. Es gilt <math>{e_i\in{f}_1;...,f_n}</math> für <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>n\ge…“

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====Kombinatorik====
Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anzahl der möglichen Anordnungen bei einem Versuch, wobei sie unterscheidet, ob die Reihenfolge von Bedeutung ist oder nicht und ob Wiederholungen (Zurücklegen) zugelassen werden oder nicht.

Es sei <math>e=(e_1;e_2;...;e_k)</math> für <math>k\in\mathbb{N}</math> das Ergebnis eines k-stufigen Versuchs. Es gilt <math>{e_i\in{f}_1;...,f_n}</math> für <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>n\geq k</math> mit <math>0 \le i \leq k</math>. D. h. es werden k-Elemente aus einer Menge von n Elementen gezogen.

1. Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen

Bei jeder Stufe kann <math>e_i</math> genau einen der Werte <math>f_1,...,f_n</math> annehmen. Insgesamt gibt es also <math>n\cdot ...\cdot n=n^k</math> mögliche Ergebnisse.

2. Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen

<math>e_1</math> kann n unterschiedliche Werte annehmen. <math>e_2</math> kann dann nur noch n-1 unterschiedliche Werte annehmen und so weiter. Damit gibt es <math>n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)=\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k\right)\cdot\ldots\cdot1}{\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}</math> mögliche Ergebnisse.

3. Ohne Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen

<math>\binom{n+k-1}{k}</math> wird zur Vollständigkeit erwähnt!

4. Ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen

<math>e_1</math> kann n unterschiedliche Werte annehmen. <math>e_2</math> kann dann nur noch n-1 unterschiedliche Werte annehmen und so weiter. Unter diesen <math>n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)</math> Möglichkeiten gibt es <math>k\cdot\left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot 1</math> so viele, verschiedene Reihenfolgen für e, die zum gleichen Ergebnis führen. Insgesamt gibt es also <math>\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)}{\left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)\cdot\left(n-k\right)\cdot\ldots\cdot1}{\left(n-k\right)\cdot\ldots\cdot1\cdot\left(k-1\right)\cdot\ldots\cdot1}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}=\binom{n}{k}</math>.

Für <math>\binom{n}{k}</math> sagen wir „n über k“. Für <math>n!</math> sagen wir „n-Fakultät“.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ixJUp2hexgM?si=zEGIluSAL2Z0XIrR" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]