Kettenregel - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Ketten- und Produktregel anwenden */

2024-12-28T09:46:15Z

Ketten- und Produktregel anwenden

← Nächstältere Version		Version vom 28. Dezember 2024, 11:46 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	Faktorisiertes Ergebnis:		Faktorisiertes Ergebnis:
	<math>f'(x) = e^x \cdot \left[ 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2) + (x^3 + 2x)^4 \right]</math>.		<math>f'(x) = e^x \cdot \left[ 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2) + (x^3 + 2x)^4 \right]</math>.

			<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/RWvk648kHfM?si=FugswPTvfiFwBqe9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]		[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2024-12-28T08:43:23Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 28. Dezember 2024, 10:43 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	: <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x).</math>		: <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x).</math>

			<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/FX0AiRQO0Zo?si=mu1O6tokTNwE_-FE" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>

	==Beweis der Kettenregel==		==Beweis der Kettenregel==

Flbkwikiadmin: /* Kettenregel anwenden */

2024-09-12T06:37:31Z

Kettenregel anwenden

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2024, 08:37 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Kettenregel anwenden===		===Kettenregel anwenden===
	Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = (x~~^2 + 1)~~^3</math> und <math>v(x) = x^2 + 1</math>.		Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^3</math> und <math>v(x) = x^2 + 1</math>.
	Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(v(x)) = (x^2 + 1)^3</math>.		Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(v(x)) = (x^2 + 1)^3</math>.

Zeile 48:		Zeile 48:
	Einsetzen ergibt:		Einsetzen ergibt:
	<math>f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2</math>.		<math>f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2</math>.


	===Ketten- und Produktregel anwenden===		===Ketten- und Produktregel anwenden===

Flbkwikiadmin: /* Beispiele */

2024-09-12T06:36:53Z

Beispiele

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 ==Beispiele==
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
 [[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

Flbkwikiadmin am 12. September 2024 um 06:33 Uhr

2024-09-12T06:33:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2024, 08:33 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt		differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt

	<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.		: <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x).</math>

	==Beweis der Kettenregel==		==Beweis der Kettenregel==

Flbkwikiadmin am 12. September 2024 um 06:32 Uhr

2024-09-12T06:32:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2024, 08:32 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:		Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:

	- Der erste Term wird zu <math> u'(v(x_0)) </math>, da <math> \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) </math>.		* Der erste Term wird zu <math> u'(v(x_0)) </math>, da <math> \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) </math>.
	- Der zweite Term wird zu <math> v'(x_0) </math>, weil dies der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist.		* Der zweite Term wird zu <math> v'(x_0) </math>, weil dies der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist.

	Damit erhalten wir die Kettenregel:		Damit erhalten wir die Kettenregel:

Flbkwikiadmin am 12. September 2024 um 06:31 Uhr

2024-09-12T06:31:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2024, 08:31 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.		<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.

			==Beweis der Kettenregel==
			Wir leiten die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(v(x))</math> ab.

			Ableitung durch Grenzwert des [[Ableitung\|Differenzenquotienten]] ausdrücken:

			: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math>
			Da <math> f(x) = u(v(x)) </math>, setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein:

			: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{h} </math>

			Nun erweitern wir durch <math> v(x_0 + h) - v(x_0) </math>, um die Kettenregel herleiten zu können:

			: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right) </math>

			Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von <math>u</math> an der Stelle <math>v(x_0)</math>, der zweite der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math>.

			Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:

			- Der erste Term wird zu <math> u'(v(x_0)) </math>, da <math> \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) </math>.
			- Der zweite Term wird zu <math> v'(x_0) </math>, weil dies der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist.

			Damit erhalten wir die Kettenregel:

			: <math> f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) </math>

	==Beispiele==		==Beispiele==

Flbkwikiadmin am 10. September 2024 um 10:44 Uhr

2024-09-10T10:44:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2024, 12:44 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			Die Kettenregel ist wie die [[Produktregel]] eine Regel zum [[Ableitung\|Ableiten]] von [[Funktion\|Funktionen]].

	==Definition==		==Definition==
	Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung#Definition\|differenzierbare]] [[Funktion\|Funktionen]], so ist auch		Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung#Definition\|differenzierbare]] [[Funktion\|Funktionen]], so ist auch
	: <math>f(x) = u(v(x))</math> differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt
			: <math>f(x) = u(v(x))</math> für alle <math>x \in \mathbb{D}</math>

			differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt

	<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.		<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.

Flbkwikiadmin am 10. September 2024 um 10:39 Uhr

2024-09-10T10:39:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2024, 12:39 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==Definition==		==Definition==
	~~Seien~~ <math>f</math> und <math>g</math> differenzierbare Funktionen ~~und~~ <math>h(x) = f(g(x))</math>. ~~Dann ist~~ die Ableitung von <math>h</math> ~~gegeben durch:~~		Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung#Definition\|differenzierbare]] [[Funktion\|Funktionen]], so ist auch
			: <math>f(x) = u(v(x))</math> differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt

	: <math>h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math>.		<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.

	Das bedeutet, dass die Ableitung der Verkettung zweier Funktionen das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>g(x)</math> und der Ableitung der inneren Funktion <math>g</math> an der Stelle <math>x</math> ist.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Flbkwikiadmin am 10. September 2024 um 09:52 Uhr

2024-09-10T09:52:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2024, 11:52 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==Definition==		==Definition==
	Seien <math>f</math> und <math>g</math> ~~[[Ableitung#Definition\|~~differenzierbare~~]] [[Funktion#Definition\|~~Funktionen~~]] mit~~ <math>h(x) = f(g(x))</math>. Dann ist die [[Ableitung]] von <math>h</math> durch		Seien <math>f</math> und <math>g</math> differenzierbare Funktionen und <math>h(x) = f(g(x))</math>. Dann ist die Ableitung von <math>h</math> gegeben durch:

	: <math>h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math>		: <math>h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math>.

	~~gegeben.~~		Das bedeutet, dass die Ableitung der Verkettung zweier Funktionen das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>g(x)</math> und der Ableitung der inneren Funktion <math>g</math> an der Stelle <math>x</math> ist.

	Das bedeutet, die Ableitung der Verkettung zweier Funktionen ~~ist~~ das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>g(x)</math> und der Ableitung der inneren Funktion <math>g</math> an der Stelle <math>x</math>.

	==Beispiele==		==Beispiele==