Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2025-08-31T09:57:23Z

Definition

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Flbkwikiadmin: /* Definition */

2025-08-31T09:53:43Z

Definition

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Flbkwikiadmin: /* Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln */

2025-02-24T06:40:33Z

Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2025, 08:40 Uhr
Zeile 146:		Zeile 146:
	# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.		# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.
	# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln		# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln
	# <math>A=\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx\|+\|\int_{x_{~~S_1~~}}^{x_{~~S_2~~}}(f(x)-g(x)) \, dx\|+\dots+\|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x)) \, dx\|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])		# <math>A=\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx\|+\|\int_{x_{S_2}}^{x_{S_3}}(f(x)-g(x)) \, dx\|+\dots+\|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x)) \, dx\|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])

	==Beispiele==		==Beispiele==

Flbkwikiadmin: /* Bestimmtes Integral */

2025-02-24T06:39:32Z

Bestimmtes Integral

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Zeile 13:		Zeile 13:
	gegeben.		gegeben.

	Für auf den Intervallen <math>[a;b]</math> und <math>[b;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln:		Für auf den Intervallen <math>[a;b] \subseteq [a;c]</math> und <math>[b;c] \subseteq [a;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln:
	===Faktorregel===		===Faktorregel===
	:<math>\int_a^b c \cdot f(x) \, dx=c \cdot \int_a^b f(x) \, dx</math>		:<math>\int_a^b c \cdot f(x) \, dx=c \cdot \int_a^b f(x) \, dx</math>
	===Summenregel===		===Summenregel===
	:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_a^bg(x) \, dx</math>		:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^bg(x) \, dx</math>
	===Intervalladditivität===		===Intervalladditivität===
	:<math>\int_a^c f(x) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_b^c f(x) \, dx</math>		:<math>\int_a^c f(x) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_b^c f(x) \, dx</math>

Flbkwikiadmin am 24. Februar 2025 um 06:35 Uhr

2025-02-24T06:35:19Z

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Zeile 10:		Zeile 10:
	==Bestimmtes Integral==		==Bestimmtes Integral==
	Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion\|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch		Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion\|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch
	:<math>\int_a^b f(x) dx</math>		:<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>
	gegeben.		gegeben.

	Für auf den Intervallen <math>[a;b]</math> und <math>[b;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln:		Für auf den Intervallen <math>[a;b]</math> und <math>[b;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln:
	===Faktorregel===		===Faktorregel===
	:<math>\int_a^b c \cdot f(x) dx=c \cdot \int_a^b f(x) dx</math>		:<math>\int_a^b c \cdot f(x) \, dx=c \cdot \int_a^b f(x) \, dx</math>
	===Summenregel===		===Summenregel===
	:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^bg(x) dx</math>		:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_a^bg(x) \, dx</math>
	===Intervalladditivität===		===Intervalladditivität===
	:<math>\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx</math>		:<math>\int_a^c f(x) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_b^c f(x) \, dx</math>

	===Vertauschen der Integrationsgrenzen===		===Vertauschen der Integrationsgrenzen===
	:<math>\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx</math>		:<math>\int_a^b f(x) \, dx=-\int_b^a f(x) \, dx</math>

	==Definition==		==Definition==
Zeile 139:		Zeile 139:
	==Integralfunktion==		==Integralfunktion==
	Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist		Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist
	:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t)dt</math>		:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t) \, dt</math>
	die dazugehörige '''Integralfunktion'''.		die dazugehörige '''Integralfunktion'''.

Zeile 146:		Zeile 146:
	# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.		# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.
	# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln		# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln
	# <math>A=\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx\|+\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx\|+\dots+\|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x))dx\|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])		# <math>A=\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx\|+\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx\|+\dots+\|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x)) \, dx\|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])

	==Beispiele==		==Beispiele==

	===Flächeninhalt ermitteln===		===Flächeninhalt ermitteln===
	[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif\|mini\|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 ~ dx=\frac{7}{3}</math></span>.]]		[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif\|mini\|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 \, dx=\frac{7}{3}</math></span>.]]

	Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>.		Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>.
	Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>.		Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>.
	Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch		Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch
	:<math>\int_1^2 x^2 ~dx = F(2) - F(1)</math>		:<math>\int_1^2 x^2 \, dx = F(2) - F(1)</math>
	:<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math>		:<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math>
	berechnet.		berechnet.
Zeile 168:		Zeile 168:
	:<math>-1,59; 0; 1,59 \in [-2;2]</math>		:<math>-1,59; 0; 1,59 \in [-2;2]</math>
	2. Flächeninhalt ermitteln		2. Flächeninhalt ermitteln
	:<math>A=\|\int_{-2}^{-1,59} f(t)dt\|+\|\int_{-1,59}^{0} f(t)dt\|+\|\int_{0}^{1,59} f(t)dt\|+\|\int_{1,59}^{2} f(t)dt\| </math>		:<math>A=\|\int_{-2}^{-1,59} f(t) \, dt\|+\|\int_{-1,59}^{0} f(t) \, dt\|+\|\int_{0}^{1,59} f(t) \, dt\|+\|\int_{1,59}^{2} f(t) \, dt\| </math>
	:<math>\approx \|0,13\|+\|-0,58\|+\|0,58\|+\|-0,13\| = 0,13+0,58+0,58+0,13= 1,42</math>		:<math>\approx \|0,13\|+\|-0,58\|+\|0,58\|+\|-0,13\| = 0,13+0,58+0,58+0,13= 1,42</math>
	Der gesuchte Flächeninhalt beträgt <math>A=1,42</math>. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> beträgt <math>\int_{-2}^{2} f(t)dt=0</math>.		Der gesuchte Flächeninhalt beträgt <math>A=1,42</math>. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> beträgt <math>\int_{-2}^{2} f(t) \, dt=0</math>.

	===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===		===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===
	[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif\|mini\|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x ~ dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]]		[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif\|mini\|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x \, dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]]

	Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.		Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.
Zeile 205:		Zeile 205:
	:<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math>		:<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math>
	3. Flächeninhalt ermitteln		3. Flächeninhalt ermitteln
	:<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math>		:<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x)) \, dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math>
	:<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math>		:<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math>
	:<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math>		:<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math>

Flbkwikiadmin am 24. Februar 2025 um 06:31 Uhr

2025-02-24T06:31:36Z

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2025-02-23T15:45:06Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2025, 17:45 Uhr
Zeile 134:		Zeile 134:
	</body>		</body>
	</html>		</html>

	<html><iframe width="280" height="157,5" src="https://www.youtube.com/embed/MX_WQS5-vAg?si=N2TxoCi_PHsr1_1B" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157,5" src="https://www.youtube.com/embed/MX_WQS5-vAg?si=N2TxoCi_PHsr1_1B" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2025-02-23T15:44:55Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2025, 17:44 Uhr
Zeile 134:		Zeile 134:
	</body>		</body>
	</html>		</html>
			<html><iframe width="280" height="157,5" src="https://www.youtube.com/embed/MX_WQS5-vAg?si=N2TxoCi_PHsr1_1B" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>

	==Integralfunktion==		==Integralfunktion==

Flbkwikiadmin: /* Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln */

2025-02-21T06:34:20Z

Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln

← Nächstältere Version		Version vom 21. Februar 2025, 08:34 Uhr
Zeile 188:		Zeile 188:

	===Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln===		===Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln===
			[[Datei:HauptsatzIntFlächenZwGraphen.gif\|mini\|Fläche zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln]]

	Wir betrachten die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x)=-x^2+3</math> und ermitteln die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.		Wir betrachten die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x)=-x^2+3</math> und ermitteln die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

Zeile 207:		Zeile 209:

	Der gesuchte Flächeninhalt ist der [[Betragsfunktion\|Betrag]] der Zahl und beträgt <span style="color:green"><math>\frac{8}{3}</math></span>.		Der gesuchte Flächeninhalt ist der [[Betragsfunktion\|Betrag]] der Zahl und beträgt <span style="color:green"><math>\frac{8}{3}</math></span>.

	~~[[Datei:HauptsatzIntFlächenZwGraphen.gif\|mini\|Fläche zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln]]~~

	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin: /* Orientierten Flächeninhalt ermitteln */

2025-02-21T06:34:03Z

Orientierten Flächeninhalt ermitteln

← Nächstältere Version		Version vom 21. Februar 2025, 08:34 Uhr
Zeile 171:		Zeile 171:

	===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===		===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===
			[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif\|mini\|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x ~ dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]]

	Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.		Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.
	Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>.		Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>.
Zeile 177:		Zeile 179:
	:<math>= \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0</math>.		:<math>= \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0</math>.
	Der orientierte Flächeninhalt beträgt <math>0</math>, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen.		Der orientierte Flächeninhalt beträgt <math>0</math>, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen.

	[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif\|mini\|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x ~ dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]]

	===Integralfunktion ermitteln===		===Integralfunktion ermitteln===

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2025, 08:31 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.		Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.

	Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.		Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer [[ganzrationale_Funktion\|ganzrationalen Funktion]] <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/r-iUbclLabI?si=a5pPkIEuYHEhuoWi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/r-iUbclLabI?si=a5pPkIEuYHEhuoWi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
Zeile 139:		Zeile 139:
	==Integralfunktion==		==Integralfunktion==
	Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist		Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist
	:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t)~~d(t)~~</math>		:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t)dt</math>
	die dazugehörige '''Integralfunktion'''.		die dazugehörige '''Integralfunktion'''.

	==Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln==		==Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln==
	Es seien <math>f, ~g</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von <math>f, ~g</math> wird wie folgt ermittelt:		Es seien <math>f, ~g</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von <math>f, ~g</math> wird wie folgt ermittelt:
	# Schnittstellen <math>x_{S_1},~~...~~,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.		# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.
	# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln		# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln
	# <math>A=\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx\|+\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx\|+~~...~~+\|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x))dx\|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])		# <math>A=\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx\|+\|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx\|+\dots+\|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x))dx\|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])

	==Beispiele==		==Beispiele==