Gaußsches Eliminationsverfahren - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix */

2026-02-03T09:28:23Z

Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix

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Zeile 21:		Zeile 21:
	Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:		Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:
	* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang\|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.		* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang\|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.
	* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.		* Die [[Matrix#Inverse\|Inverse]] <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.

	== Lineare Matrizengleichungen ==		== Lineare Matrizengleichungen ==

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2026-02-03T09:27:32Z

Definition

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	== Definition ==		== Definition ==
	Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix\|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A\|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem\|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform. Wird die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|reduzierte Zeilenstufenform]] gebracht, sprechen wir vom Gauß-Jordan Algorithmus.		Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix\|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A\|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem\|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform. Wird die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|reduzierte Zeilenstufenform]] gebracht, sprechen wir vom Gauß-Jordan-Algorithmus.

	Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind:		Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind:

Flbkwikiadmin: /* Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix */

2026-02-03T09:27:16Z

Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2026, 11:27 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:		Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:
	* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang\|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.		* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang\|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.
	* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.		* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.

	== Lineare Matrizengleichungen ==		== Lineare Matrizengleichungen ==

Flbkwikiadmin: /* Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix */

2026-02-03T09:27:03Z

Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2026, 11:27 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:		Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:
	* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang\|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.		* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang\|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.
	* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.		* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Jordan Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.

	== Lineare Matrizengleichungen ==		== Lineare Matrizengleichungen ==

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2026-02-03T09:26:36Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2026, 11:26 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	== Definition ==		== Definition ==
	Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix\|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A\|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem\|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform ~~oder~~ reduzierte Zeilenstufenform.		Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein Verfahren zur schrittweisen Umformung der [[Lineares_Gleichungssystem#Erweiterte_Koeffizientenmatrix\|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A\|b)</math> eines [[Lineares_Gleichungssystem\|linearen Gleichungssystems]] in Zeilenstufenform. Wird die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|reduzierte Zeilenstufenform]] gebracht, sprechen wir vom Gauß-Jordan Algorithmus.

	Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind:		Zulässige '''elementare Zeilenumformungen''' sind:

Flbkwikiadmin: /* Lösung eines linearen Gleichungssystems */

2026-02-03T09:24:31Z

Lösung eines linearen Gleichungssystems

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2026, 11:24 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:
	\right)		\right)
	</math>		</math>
	Wir teilen Zeile 1 durch 2:		Wir teilen Zeile 1 durch 2 und erhalten die folgende [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|Zeilenstufenform]]:
	:<math>		:<math>
	\left(		\left(
Zeile 101:		Zeile 101:
	\right)		\right)
	</math>		</math>
	Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1 und erhalten die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|Zeilenstufenform]]:		Wir subtrahieren Zeile 2 von Zeile 1 und erhalten die erweiterte Koeffizientenmatrix in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|reduzierter Zeilenstufenform]]:
	:<math>		:<math>
	\left(		\left(

Flbkwikiadmin am 28. Januar 2026 um 12:25 Uhr

2026-01-28T12:25:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Januar 2026, 14:25 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[Lineares_Gleichungssystem\|linearer Gleichungssysteme]]. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix\|Matrizen]] verknüpft.		Das '''Gaußsche Eliminationsverfahren''' oder '''Gauß-Algorithmus''' ist ein algorithmisches Verfahren zur Lösung [[Lineares_Gleichungssystem\|linearer Gleichungssysteme]]. Es basiert auf elementaren Zeilenumformungen von Matrizen und ermöglicht Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und Struktur der Lösungsmengen. Das Verfahren ist eng mit der Theorie der [[Matrix\|Matrizen]] verknüpft.

	== Definition ==		== Definition ==

Flbkwikiadmin: /* Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix */

2026-01-28T12:24:55Z

Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix

← Nächstältere Version		Version vom 28. Januar 2026, 14:24 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	== Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix ==		== Zusammenhang mit der Inversen einer Matrix ==
	Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:		Für eine quadratische Matrix <math>A</math> gilt:
	* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.		* <math>A</math> ist genau dann invertierbar, wenn für den [[Matrix#Rang\|Rang]] von <math>A</math> gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math>.
	* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.		* Die Inverse <math>A^{-1}</math> kann mithilfe des Gauß-Algorithmus bestimmt werden, indem man die Matrix <math>(A\|I)</math> auf <math>(I\|A^{-1})</math> umformt.

Flbkwikiadmin: /* Bestimmung der Inversen */

2026-01-28T12:23:33Z

Bestimmung der Inversen

@@ Zeile 123: / Zeile 123: @@
 mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens:
-<math></math>
+:<math>
 Die Inverse zu Matrix <math>A</math> ist damit

Flbkwikiadmin: /* Bestimmung der Inversen */

2026-01-28T12:13:21Z

Bestimmung der Inversen

← Nächstältere Version		Version vom 28. Januar 2026, 14:13 Uhr
Zeile 114:		Zeile 114:

	=== Bestimmung der Inversen ===		=== Bestimmung der Inversen ===
	~~Gegeben sei~~		Wir berechnen die Inverse <math>A^{-1}</math> zur Matrix
	<math>		:<math>
	A = \begin{pmatrix}		A = \begin{pmatrix}
	1 & 2 \\		1 & 2 \\
Zeile 121:		Zeile 121:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
			mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens:

	~~Durch Anwendung des Gauß-Algorithmus auf~~ <math>(A~~\|I)~~</math> ~~erhält man~~		<math></math>

			Die Inverse zu Matrix <math>A</math> ist damit
	<math>		<math>
	A^{-1} = \begin{pmatrix}		A^{-1} = \begin{pmatrix}