Extremwert - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 09:16 Uhr

2024-07-21T09:16:37Z

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	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 08:51 Uhr

2024-07-21T08:51:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2024, 10:51 Uhr
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	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

Flbkwikiadmin am 13. Juli 2024 um 07:22 Uhr

2024-07-13T07:22:38Z

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 Wir betrachten <math>f(x)=x^2+x+1</math> mit <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math>.
-'''1. Notwendige Bedingung:'''
+#'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>f'(x)=0</math> <br> <math>2x+1=0 | -1</math> <br> <math>2x=-1 | :2</math> <br> <math>x=-0,5</math> <br> <math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage. <br>
+#'''Hinreichende Bedingung:''' <br>Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.  <br> '''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.
-<math>f'(x)=0</math>
+#'''Extremwert berechnen:''' <br>Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.
 ====Hochpunkt berechnen====
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 Wir betrachten <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math> mit <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.
-'''1. Notwendige Bedingung:'''
+#'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>g'(x)=0</math> <br> <math>-2x+1=0 | -1</math> <br> <math>-2x=-1 | :(-2)</math> <br> <math>x=0,5</math>
+#'''Hinreichende Bedingung:''' <br> Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. <br> '''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.
-<math>g'(x)=0</math>
+#'''Extremwert berechnen:''' <br> Damit ist  <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.
 ====Graphische Erläuterung der Berechnungen====

Flbkwikiadmin am 10. Juli 2024 um 10:42 Uhr

2024-07-10T10:42:50Z

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	<math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.		<math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.

	~~[[Kategorie:Mathematik]]~~
	[[Kategorie:Differentialrechnung]]		[[Kategorie:Differentialrechnung]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin: /* Hochpunkt berechnen */

2024-07-09T08:37:58Z

Hochpunkt berechnen

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2024, 10:37 Uhr
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	'''1. Notwendige Bedingung:'''		'''1. Notwendige Bedingung:'''

			<math>g'(x)=0</math>

	<math>-2x+1=0 \| -1</math>		<math>-2x+1=0 \| -1</math>
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	Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.		Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.

	Alternativ gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.		'''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.

	'''3. Extremwert berechnen:'''		'''3. Extremwert berechnen:'''

Flbkwikiadmin: /* Tiefpunkt berechnen */

2024-07-09T08:37:29Z

Tiefpunkt berechnen

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2024, 10:37 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:

	'''1. Notwendige Bedingung:'''		'''1. Notwendige Bedingung:'''

			<math>f'(x)=0</math>

	<math>2x+1=0 \| -1</math>		<math>2x+1=0 \| -1</math>
Zeile 50:		Zeile 52:
	Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.		Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.

	Alternativ gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.		'''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.

	'''3. Extremwert berechnen:'''		'''3. Extremwert berechnen:'''

	Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5\|0,75)</math> der Tiefpunkt.		Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5\|0,75)</math> der Tiefpunkt.

	====Hochpunkt berechnen====		====Hochpunkt berechnen====

Flbkwikiadmin: /* Extrempunkte rechnerisch ermitteln */

2024-07-09T08:36:08Z

Extrempunkte rechnerisch ermitteln

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2024, 10:36 Uhr
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	====Tiefpunkt berechnen====		====Tiefpunkt berechnen====
	[[Datei:DifferentialrechnungBeispielfAbl.png\|mini\|[[Graph\|Graphen]] von <math>f,f',f''</math>]]		[[Datei:DifferentialrechnungBeispielfAbl.png\|mini\|[[Graph\|Graphen]] von <math>f,f',f''</math>]]
	Wir betrachten ~~wieder~~ <math>f(x)=x^2+x+1</math> ~~und ändern <math>g</math> zu <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math>. Für die Ableitungen gilt~~ <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=~~2</math> und <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-~~2</math>.		Wir betrachten <math>f(x)=x^2+x+1</math> mit <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math>.

	'''1. Notwendige Bedingung:'''		'''1. Notwendige Bedingung:'''
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	====Hochpunkt berechnen====		====Hochpunkt berechnen====
	[[Datei:DifferentialrechnungBeispielgAbl.png\|mini\|[[Graph\|Graphen]] von <math>g, g', g''</math>]]		[[Datei:DifferentialrechnungBeispielgAbl.png\|mini\|[[Graph\|Graphen]] von <math>g, g', g''</math>]]
	~~Für~~ <math>g</math> ~~gehen wir analog vor~~. ~~Es gilt~~		Wir betrachten <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math> mit <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.

	'''1. Notwendige Bedingung:'''		'''1. Notwendige Bedingung:'''

Flbkwikiadmin: /* Extremwerte bestimmen */

2024-07-09T07:52:22Z

Extremwerte bestimmen

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2024, 09:52 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	==Extremwerte bestimmen==		==Extremwerte bestimmen==
	Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet.		Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet. Im Folgenden sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt\|differenzierbar]] mit <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> und den [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt\|Ableitungsfunktionen]] <math>f'</math> und <math>f''</math>.

	===Notwendige Bedingung für Extremstellen===		===Notwendige Bedingung für Extremstellen===
	Für eine [[Funktion]] <math>f</math>, die an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt\|differenzierbar]] ist, gilt:		Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.

	Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0 ~~\in \mathbb{D}_f~~</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.

	===Hinreichende Bedingung für Extremstellen===		===Hinreichende Bedingung für Extremstellen===
	~~Für~~ eine [[Funktion]] <math>f</math> ~~mit~~ der [[~~Ableitungsfunktion~~#~~Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt~~\|~~Ableitungsfunktion~~]] <math>f'</math> ~~in einem Intervall gilt:~~		Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von negativ zu positiv, liegt bei <math>x_0</math> ein Minimum vor. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von positiv zu negativ, liegt bei <math>x_0</math> ein Maximum vor. Diese Bedingung heißt '''Vorzeichenwechselkriterium'''.

	Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt.

	~~Falls die zweite Ableitung~~ <math>f''</math> ~~existiert, so gilt~~:		'''Alternativ''' können wir <math>f''</math> verwenden:

	Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math> liegt ein Maximum vor.		Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition\|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math> liegt ein Maximum vor.

	===Extremwert berechnen===		===Extremwert berechnen===

Flbkwikiadmin: /* Graphische Erläuterung der Bedingungen */

2024-07-08T10:38:35Z

Graphische Erläuterung der Bedingungen

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2024, 12:38 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	Damit ist <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5\|1,25)</math> ein Hochpunkt.		Damit ist <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5\|1,25)</math> ein Hochpunkt.

	====Graphische Erläuterung der ~~Bedingungen~~====		====Graphische Erläuterung der Berechnungen====
	<math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.		<math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle $x$ , wenn in einer Umgebung um $x$ kein größerer oder kleinerer Funktionswert existiert. ==Definition== Es sei $I=(a;b)$ ein Intervall, auf dem die Funktion $f$ Funktion#Definitions-_und_Wer…“

2024-07-08T10:37:54Z

Die Seite wurde neu angelegt: „In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle <math>x</math>, wenn in einer Umgebung um <math>x</math> kein größerer oder kleinerer Funktionswert existiert. ==Definition== Es sei <math>I=(a;b)</math> ein Intervall, auf dem die Funktion <math>f</math> Funktion#Definitions-_und_Wer…“

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In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der [[Funktion]] an einer [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x</math>, wenn in einer Umgebung um <math>x</math> kein größerer oder kleinerer Funktionswert existiert.
==Definition==
Es sei <math>I=(a;b)</math> ein Intervall, auf dem die [[Funktion]] <math>f</math> [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|definiert]] ist. Der [[Funktion#Definition|Funktionswert]] <math>f(x_0)</math> heißt '''lokales Maximum''' von <math>f</math>, wenn <math>f(x)\leq f(x_0)</math> für alle <math>x \in I</math> gilt. Der [[Funktion#Definition|Funktionswert]] <math>f(x_0)</math> heißt '''lokales Minimum''' von <math>f</math>, wenn <math>f(x)\geq f(x_0)</math> für alle <math>x \in I</math> gilt. <math>x_0</math> heißt dann '''Maximalstelle''' bzw. '''Minimalstelle'''. Der Punkt <math>P(x_0| f(x_0))</math> heißt bei einem lokalen Maximum '''Hochpunkt''' und bei einem lokalen Minimum '''Tiefpunkt'''.

Gilt <math>I=\mathbb{D}_f</math>, dann heißt <math>f(x_0)</math> auch '''globales Maximum''' von <math>f</math> bzw. '''globales Minimum''' von <math>f</math>. Man nennt Hoch- und Tiefpunkte auch '''Extrempunkte'''. <math>x_0</math> heißt dann '''Extremstelle''' und <math>f\left(x_0\right)</math> heißt dann '''Extremwert''' oder '''Extremum'''.

==Extremwerte bestimmen==
Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet.

===Notwendige Bedingung für Extremstellen===
Für eine [[Funktion]] <math>f</math>, die an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] ist, gilt:

Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.

===Hinreichende Bedingung für Extremstellen===
Für eine [[Funktion]] <math>f</math> mit der [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in einem Intervall gilt:

Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt.

Falls die zweite Ableitung <math>f''</math> existiert, so gilt:

Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math> liegt ein Maximum vor.

===Extremwert berechnen===
Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Extremstelle. Der Extremwert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/iuTxKyYthwA?si=gqrVXGUZ6L0i34IC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Yy_qIDTZZfY?si=8z4toyBxXb1t9M9W" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

==Beispiele==
[[Datei:DifferentialrechnungBeispielGraphHochTief.png|mini|[[Graph|Graphen]] von <math>f</math> bzw. <math>g</math> mit Tief- und Hochpunkt]]

===[[Graph|Graphen]] mit Extrempunkten===
Wir betrachten <math>f(x)=x^2+x+1</math> und <math>g(x)=-x^2+x-1</math> im Intervall <math>I=\left(-2;2\right)</math>. Der [[Graph]] von <math>f</math> ist grün und der [[Graph]] von <math>g</math> ist blau. <math>f</math> hat <math>T(-0,5|0,75)</math> als Tiefpunkt und <math>g</math> hat <math>H(0,5|-0,75)</math> Punkt als Hochpunkt. Das lokale Minimum von <math>f</math> ist <math>0,75</math>. Das lokale Maximum von <math>g</math> ist <math>-0,75</math>. In diesem Fall sind die Extrema auch global.

===Extrempunkte rechnerisch ermitteln===

====Tiefpunkt berechnen====
[[Datei:DifferentialrechnungBeispielfAbl.png|mini|[[Graph|Graphen]] von <math>f,f',f''</math>]]
Wir betrachten wieder <math>f(x)=x^2+x+1</math> und ändern <math>g</math> zu <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math>. Für die Ableitungen gilt <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math> und <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.

'''1. Notwendige Bedingung:'''

<math>2x+1=0 | -1</math>

<math>2x=-1 | :2</math>

<math>x=-0,5</math>

<math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage.

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.

Alternativ gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.

'''3. Extremwert berechnen:'''

Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.

====Hochpunkt berechnen====
[[Datei:DifferentialrechnungBeispielgAbl.png|mini|[[Graph|Graphen]] von <math>g, g', g''</math>]]
Für <math>g</math> gehen wir analog vor. Es gilt

'''1. Notwendige Bedingung:'''

<math>-2x+1=0 | -1</math>

<math>-2x=-1 | :(-2)</math>

<math>x=0,5</math>

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.

Alternativ gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.

'''3. Extremwert berechnen:'''

Damit ist <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.

====Graphische Erläuterung der Bedingungen====
<math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Fachabitur]]