Erwartungswert - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 3. April 2025 um 06:52 Uhr

2025-04-03T06:52:15Z

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	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
			[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 09:16 Uhr

2024-07-21T09:16:30Z

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	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 08:51 Uhr

2024-07-21T08:51:44Z

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	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

Flbkwikiadmin: /* Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf */

2024-07-19T11:00:19Z

Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 13:00 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf===		===Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf===
	Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der ~~'''~~Erwartungswert~~'''~~ durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.		Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.

	===Einfacher Münzwurf als faires Spiel===		===Einfacher Münzwurf als faires Spiel===

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2024-07-19T10:58:22Z

Definition

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	==Definition==		==Definition==
	Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der ~~Wahrscheinlichkeitsverteilung~~.		Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Zufallsvariable.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

Flbkwikiadmin: /* Einfacher Münzwurf als faires Spiel */

2024-07-19T10:57:38Z

Einfacher Münzwurf als faires Spiel

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 12:57 Uhr
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	*<math>P(X=1)=\frac{1}{2}</math>		*<math>P(X=1)=\frac{1}{2}</math>
	*<math>P(X=-1)=\frac{1}{2}</math>.		*<math>P(X=-1)=\frac{1}{2}</math>.
	Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(x)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.		Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(X)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin: /* Faires Spiel */

2024-07-19T08:27:25Z

Faires Spiel

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 10:27 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der '''Erwartungswert''' durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.		Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der '''Erwartungswert''' durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.

	===~~Faires~~ Spiel===		===Einfacher Münzwurf als faires Spiel===
	Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze, bei dem der Teilnehmer 1 Euro gewinnt, wenn die Münze Kopf zeigt, und 1 Euro verliert, wenn die Münze Zahl zeigt. Bei Zahl erhält der Anbieter den Euro. Wir betrachten das Spiel aus der Sicht des Teilnehmers.		Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze, bei dem der Teilnehmer 1 Euro gewinnt, wenn die Münze Kopf zeigt, und 1 Euro verliert, wenn die Münze Zahl zeigt. Bei Zahl erhält der Anbieter den Euro. Wir betrachten das Spiel aus der Sicht des Teilnehmers.

Flbkwikiadmin am 19. Juli 2024 um 08:27 Uhr

2024-07-19T08:27:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 10:27 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	==Definition==		==Definition==
	Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung.		Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

			<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Faires Spiel==		==Faires Spiel==
	Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> der Zufallsvariable <math>X</math> und der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> mit der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] <math>P(X=x_i)</math> des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Hat das Zufallsexperiment zwei Teilnehmer und gilt für <math>X=x_i<0</math> bzw. <math>X=x_i\geq 0</math>, dass ein Teilnehmer einen Verlust bzw. Gewinn in Höhe von <math>x_i</math> Geldeineiheiten erzielt hat, dann heißt das Zufallsexperiment '''Spiel'''. Ein '''Spiel''' heißt '''fair''', wenn für die Zufallsvariable <math>X</math>, Gewinn/Verlust in Geldeinheiten, <math>E(X)=0</math> gilt.		Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> der Zufallsvariable <math>X</math> und der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> mit der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] <math>P(X=x_i)</math> des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Hat das Zufallsexperiment zwei Teilnehmer und gilt für <math>X=x_i<0</math> bzw. <math>X=x_i\geq 0</math>, dass ein Teilnehmer einen Verlust bzw. Gewinn in Höhe von <math>x_i</math> Geldeineiheiten erzielt hat, dann heißt das Zufallsexperiment '''Spiel'''. Ein '''Spiel''' heißt '''fair''', wenn für die Zufallsvariable <math>X</math>, Gewinn/Verlust in Geldeinheiten, <math>E(X)=0</math> gilt.

			==Beispiele==
			===Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf===
			Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der '''Erwartungswert''' durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.

			===Faires Spiel===
			Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze, bei dem der Teilnehmer 1 Euro gewinnt, wenn die Münze Kopf zeigt, und 1 Euro verliert, wenn die Münze Zahl zeigt. Bei Zahl erhält der Anbieter den Euro. Wir betrachten das Spiel aus der Sicht des Teilnehmers.

			Hierbei handelt es sich um ein Spiel, da es einen Teilnehmer und einen Anbieter des Spiels gibt. Das Spiel hat zwei mögliche Ergebnisse. Der Teilnehmer kann
			*1 Euro gewinnen, falls Kopf fällt ([[Wahrscheinlichkeit]]: <math>\frac{1}{2}</math>)
			*1 Euro verlieren, falls Zahl fällt([[Wahrscheinlichkeit]]: <math>\frac{1}{2}</math>).
			Die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] ist also <math>S=\{1;-1\}</math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Gewinn in Euro, hat die Wahrscheinlichkeiten
			*<math>P(X=1)=\frac{1}{2}</math>
			*<math>P(X=-1)=\frac{1}{2}</math>.
			Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(x)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:Fachabitur]]		[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 19. Juli 2024 um 08:07 Uhr

2024-07-19T08:07:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 10:07 Uhr
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	==Definition==		==Definition==
	Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung.		Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

			==Faires Spiel==
			Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> der Zufallsvariable <math>X</math> und der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> mit der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] <math>P(X=x_i)</math> des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Hat das Zufallsexperiment zwei Teilnehmer und gilt für <math>X=x_i<0</math> bzw. <math>X=x_i\geq 0</math>, dass ein Teilnehmer einen Verlust bzw. Gewinn in Höhe von <math>x_i</math> Geldeineiheiten erzielt hat, dann heißt das Zufallsexperiment '''Spiel'''. Ein '''Spiel''' heißt '''fair''', wenn für die Zufallsvariable <math>X</math>, Gewinn/Verlust in Geldeinheiten, <math>E(X)=0</math> gilt.

			[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
			[[Kategorie:Fachabitur]]

Flbkwikiadmin am 19. Juli 2024 um 07:53 Uhr

2024-07-19T07:53:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2024, 09:53 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			Gemäß dem [[Empirisches_Gesetz_der_großen_Zahlen\|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit\|relativen Häufigkeiten]] der Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment\|Zufallsexperiments]] den [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeiten]] an. Der Erwartungswert ist das [[Arithmetisches_Mittel#Arithmetisches_Mittel_und_H%C3%A4ufigkeiten\|arithmetische Mittel]] mit Wahrscheinlichkeiten anstatt relativen Häufigkeiten und gibt daher den Durchschnittswert an, den man bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten kann.

	==Definition==		==Definition==
	Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung.		Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition\|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition\|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung.