Binomialverteilung - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Definition */

2025-09-02T09:14:52Z

Definition

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	==Definition==		==Definition==
	Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient\|Binomialkoeffizient]].		Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> oder <math>B(n;p;k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient\|Binomialkoeffizient]].

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

Flbkwikiadmin: /* Sigmaregeln */

2025-08-31T10:20:34Z

Sigmaregeln

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	*<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel		*<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel
	*<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel		*<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel

			Diese Regeln können im [[Histogramm#Histogramm_der_Binomialverteilung\|Histogramm]] grafisch dargestellt werden.

	==Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten==		==Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten==

Flbkwikiadmin: /* Sigmaregeln */

2025-08-31T10:10:04Z

Sigmaregeln

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	==Sigmaregeln==		==Sigmaregeln==
	Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann gilt		Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann gilt
	*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,~~680~~</math> <math>1\sigma</math>-Regel		*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,683</math> <math>1\sigma</math>-Regel
	*<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel		*<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel
	*<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>		*<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>

Flbkwikiadmin: /* Histogramm */

2025-03-17T10:05:17Z

Histogramm

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	===Histogramm===		===Histogramm===
	Im folgenden Video wird das [[Histogramm]] der Binomialverteilung erläutert.		Im folgenden Video wird das [[Histogramm]] der Binomialverteilung erläutert.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Lc_R0vBSKHw?si=V72WfOUjhQRQlrN9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Lc_R0vBSKHw?si=V72WfOUjhQRQlrN9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

Flbkwikiadmin am 21. Juli 2024 um 09:16 Uhr

2024-07-21T09:16:03Z

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	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:~~FHR Mathematik~~]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]		[[Kategorie:FHR Mathematik]]

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2024-07-20T10:35:36Z

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	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Erwartungswert==		==Eigenschaften==
			===Erwartungswert===
	Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\mu=E(X)=n\cdot p</math> der [[Erwartungswert]] <math>X</math>.		Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\mu=E(X)=n\cdot p</math> der [[Erwartungswert]] <math>X</math>.

	==Varianz==		===Varianz===
	Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma^2=V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)</math> die [[Varianz_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Varianz]] von <math>X</math>.		Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma^2=V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)</math> die [[Varianz_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Varianz]] von <math>X</math>.

	==Standardabweichung==		===Standardabweichung===
	Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math> die [[Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Standardabweichung]] von <math>X</math>.		Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math> die [[Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Standardabweichung]] von <math>X</math>.

			===Histogramm===
			Im folgenden Video wird das [[Histogramm]] der Binomialverteilung erläutert.
			<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Lc_R0vBSKHw?si=V72WfOUjhQRQlrN9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Sigmaregeln==		==Sigmaregeln==

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2024-07-20T10:33:19Z

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Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „ ===Binomialverteilung=== Wir betrachten im Folgenden Definitionen zur Binomialverteilung. ====Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Experiment==== Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit p und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit $q=1-p$ bezeichnet. Ein Zufallsexperiment, das aus $n\in\mathbb{N}$ unabhängigen Durchf…“

2024-07-20T09:11:31Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ ===Binomialverteilung=== Wir betrachten im Folgenden Definitionen zur Binomialverteilung. ====Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Experiment==== Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit p und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit <math>q=1-p</math> bezeichnet. Ein Zufallsexperiment, das aus <math>n\in\mathbb{N}</math> unabhängigen Durchf…“

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===Binomialverteilung===
Wir betrachten im Folgenden Definitionen zur Binomialverteilung.

====Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Experiment====
Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit p und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit <math>q=1-p</math> bezeichnet. Ein Zufallsexperiment, das aus <math>n\in\mathbb{N}</math> unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, heißt '''Bernoulli-Kette''' der Länge n.

====Binomialverteilung und -koeffizient====
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Erfolge an.
Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>:
<math>P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{\left(n-k\right)}</math>

P heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern n und p. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}\left(k\right)</math> und nennt X eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable. <math>\binom{n}{k}</math> heißt '''Binomialkoeffizient'''.

====Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung====
Die Binomialverteilung besitzt den '''Erwartungswert'''
<math>\mu=E\left(X\right)=n\cdot p</math>, die '''Varianz'''
<math>\sigma^2=V\left(X\right)=n\cdot p\cdot\left(1-p\right)</math> und die '''Standardabweichung'''
<math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math>.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

====Sigmaregeln binomialverteilte Zufallsvariablen====
<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,680</math> <math>1\sigma</math>-Regel

<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel

<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>

<math>P\left(\mu-1,64\sigma\leq X\leq\mu+1,64\sigma\right)\approx0,9</math> 90%-Regel

<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel

<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel

==Beispiele==

===Binomialverteilung===
Der einfache Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment. Es gilt p=0,5 (Zahl) und q=1-0,5=0,5 (Kopf). Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette, da die Durchführungen unabhängig voneinander sind. D. h. bei jedem Münzwurf bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl bzw. Kopf 0,5.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/8B3qmuQk2xs?si=fK9vNYCvhEIa1tpH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen eines Würfels genau 3-mal die 6 zu würfeln, beträgt:

<math>P\left(X=3\right)=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)^{\left(20-3\right)}=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot{\frac{5}{6}}^{17}\approx0,238</math>

Die Zufallsvariable X gibt die Häufigkeit einer 6 an. Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt <math>\frac{1}{6}</math> und die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln beträgt <math>\frac{5}{6}</math>.

Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Da ein Laplace-Experiment vorliegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit genau zweimal Kopf zu werfen <math>\frac{3}{8}=0,375</math> (Ereignis genau zweimal Kopf: <math>E=\{KKZ;KZK;ZKK\}</math> und es gibt 8 mögliche Ergebnisse). Die Berechnung mit der Binomialverteilung funktioniert wie folgt:

Wir betrachten die Zufallsvariable X, die die Häufigkeit von Kopf angibt, und wollen <math>P(X=2)</math> bestimmen. Jeder Pfad der Bernoulli-Kette besteht aus insgesamt 3 Teilpfade. Genau 2 Teilpfade müssen zu Kopf führen. Da die Reihenfolge der Teilpfade keine Rolle spielen und ein Teilpfad nicht doppelt vorkommen darf, gibt es insgesamt <math>\binom{3}{2}=3</math> mögliche Pfade. Für jeden Pfad gilt: Zwei Teilpfade besitzen die Wahrscheinlichkeit 0,5 für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit 0,5 für Zahl. Es gilt also:

<math>P\left(X=2\right)=\binom{3}{2}\cdot{0,5}^2\cdot\left(1-0,5\right)^{\left(3-2\right)}=3\cdot{0,5}^2\cdot{0,5}^1=3\cdot0,125=0,375</math>

<math>\binom{3}{2}</math> ist gleichbedeutend mit „wir wollen zwei Erfolge (Kopf) aus insgesamt 3 Würfen“. <math>0,5^2</math> ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Erfolg (Kopf) und <math>{0,5}^1</math> ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Misserfolg (Zahl).

Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen 25,5% der deutschen Bevölkerung. In einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern in diesem Alter rauchen 118 Schülerinnen und Schüler.

Betrachten wir die Zufallsvariable X, Anzahl rauchende 15-20-Jährige in der Schule, dann liegt eine Bernoulli-Kette mit n=640 und p=0,255 vor. Der Erwartungswert beträgt <math>\mu=640\ \cdot0,255=163,2</math> und die Varianz ist <math>\sigma^2=640\cdot0,255\cdot0,745=121,584</math>. Die Standardabweichung ist also <math>\sigma\approx\ 11,03</math>. Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die 95%-Regel ein und erhalten

<math>P\left(163,2-1,96\cdot11,03\leq X\le163+1,96\cdot11,03\right)\approx0,95</math>

<math>P\left(141,6\le X\le184,8\right)\approx0,95</math>

Legen wir zugrunde, dass ein Schüler oder eine Schülerin mit einer Wahrscheinlichkeit von 25,5% Raucher oder Raucherin ist, dann sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 142 und 184 Raucherinnen und Raucher an der Schule.

===Auslastungmodell===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/dkrErCbQ6Bw?si=euhahtXHnZI9Rf3O" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

===Wahrscheinlichkeiten umformen===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/voPP8Z7jGsA?si=jSxTL6FH6qnIPSq7" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/EPzXRrErLaM?si=L8btUsbwukYRyZJA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Fachabitur]]